Задачи по тфкп

1. В плоскости дано уравнение линии . На какую линию плоскости она отображается функцией ? Привести поясняющие чертежи.

Уравнение линии	Функция

Решение

Так как

То

Но , , то есть окружность радиуса 1 в плоскости z отобразится в окружность радиуса 1 в плоскости w:

2. Выделив в данной функции действительную и мнимую части, выяснить, аналитическая ли она. Вычислить значение (выделить действительную и мнимую части) при данном значении аргумента .

Функция

Решение

Выделим действительную и мнимую части данной функции:

Тогда имеем

Проверяем условия Коши — Римана:

Первое условие выполняется ,

Второе условие выполняется , следовательно, функция является аналитической.

Подставим в

Получим

3. Вычислить данный интеграл по двум разным контурам и , используя для этого теорему Коши, интегральную формулу Коши или формулу, получаемую дифференцированием интегральной формулы Коши.

Интегралы	Контур	Контур

Решение

Найдём особые точки функции :

Изобразим контур интегрирования и данные точки:

- окружность с центром в точке О(0;0), радиуса 1.

Внутри данного контура не лежит ни одна особая точка, следовательно, согласно теореме Коши:

Изобразим контур интегрирования и данные точки:

- окружность с центром в точке О(1;0), радиуса 1.

Внутри данного контура лежит одна особая точка - простой полюс, следовательно, согласно теореме Коши:

4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и определить область существования полученного разложения.

Функция

Решение

Приведём данную функцию к виду:

То есть

Используем разложение , .

Преобразуем дроби к нужному виду

Значит при и при , т. е. при и при можно получить разложения полученных выражений в ряд:

Областью существования разложения является область в которой сходятся оба из рядов. То есть круг радиуса 1 с центром в точке z=2. Значит, в круге получим разложение в ряд Лорана функции