Глава 32. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Один из углов f между плоскостями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и
A2x +B2y + C2z + D2 = 0 (рис. 2.18.1) равен углу между их нормальными векторами и и определяется по формуле:

(2.18.1)

Рис. 2.18.1

Пример

Найти угол между плоскостями x – y + 21/2z + 2 = 0 и x + y +21/2z – 3 = 0.

Решение

Условие параллельности плоскостей

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны, т. е.

(2.18.2)

Пример

Определить, параллельны ли плоскости 2x–3y–4z+11=0 и –4x+6y+8z+36=0.

Решение

Плоскости параллельны, так как

Условие перпендикулярности плоскостей

Если две плоскости заданы уравнениями A1x1 + B1y1 + C1z1 + D = 0, A2x2 + B2y2 + C2z2 + D = 0, то условием их перпендикулярности является

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

(2.18.3)

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы N1{A1,B1,C1} и N2{A2,B2,C2}.

Пример

Определить перпендикулярны ли плоскости 3x–2y–2z+7=0 и 2x+2y+z+4=0.

Решение

Так как 3×2+(–2)×2+(–2) ×1=0, то заданные плоскости перпендикулярны.

Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости

Плоскость, проходящая через точку M1(x1;y1;z1) и параллельная плоскости Ax+By+Cz+D=0, представляется уравнением

A(x–x1) + B(y–y1) + C(z–z1) = 0.

(3.2.7)

Пример

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2;–1;6) параллельно плоскости x+y–2z+5=0.

Решение:

(x–2) + (y+1) –2(z–6) = 0, т. е. x + y – 2z + 11 = 0.

Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно к данной плоскости

Плоскость P, проходящая через две точки M0(x0,y0,z0) и M1(x1,y1,z1) перпендикулярно к плоскости Q, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0, представляется уравнением

(2.18.4)

Пример

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки: M0(1;2;3) и M1(2;1;1) перпендикулярно к плоскости 3x+4y+z–6=0.

Решение

Плоскость представляется уравнением:

т. е. x–y+z–2=0.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 равно

(2.18.5)

Пример

Найти расстояние от точки (3;9;1) до плоскости x–2y+2z–3=0.

Решение

< Предыдущая		Следующая >