Глава 29. Прямая в пространстве. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой

Пусть даны точка на прямой и направляющий вектор прямой, т. е. вектор коллинеарный прямой (Рис. 2.15.1). Этими условиями вполне определяется положение прямой в пространстве. Возьмем на прямой текущую точку . Векторы и коллинеарны. Следовательно, при любом положении точки М будет иметь место следующее равенство:

.

Рис. 2.15.1

Переходя к соотношениям между координатами векторов, мы получим следующие равенства:

(2.15.1)

Равенства (2.15.1) называются Параметрическими уравнениями прямой.

Исключая из уравнений (2.15.1) параметр , мы получим:

.

(2.15.2)

Определение

Уравнения (2.15.2) называются Каноническими уравнениями прямой.

Отметим еще раз, что в этих уравнениях – направляющий вектор этой прямой. Координаты этого вектора называют также Угловыми коэффициентами этой прямой. Если направляющий вектор единичный, то , , , где , , – углы, образуемые вектором с осями Ox, Oy, Oz. 

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Если известны координаты двух точек и , то за направляющий вектор прямой, проходящей через эти точки можно взять вектор и, следовательно, .

Канонические уравнения этой прямой, проходящей через точку М с направляющим вектором , будут иметь вид:

.

(2.15.3)

Пример

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки и .

Решение

Вектор является направляющим вектором искомой прямой. Запишем канонические уравнения прямой, проходящей через точку с вектором в качестве направляющего

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!