6.3. Производная в данном направлении. Градиент

Производная функции В точке в направлении , где , определяется соотношением:

,

Где и - значения функции в точках и .

Если функция имеет частные производные, то справедлива формула:

, (5)

Где - угол, образованный вектором с осью .

Аналогично определяется производная в данном направлении для функции трех аргументов . В этом случае:

, (6)

Где - углы между вектором и соответствующими координатными осями.

Градиентом функции В точке называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции:

. (7)

Аналогично определяется градиент функции трех переменных :

. (8)

Задание 1. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке :

Определим теперь значения направляющих косинусов вектора :

.

Применяя формулу (6), получим:

.

Задание 2. Для функций и найти угол между и в данной точке .

Решение. Вычислим частные производные данных функций и их значения в точке :

, , ,

, , .

Тогда в силу формулы (8):

Найдем теперь угол между градиентами функций. По формуле для косинуса угла между векторами имеем:

,

Следовательно, угол между и в данной точке равен .

< Предыдущая		Следующая >