5.4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
, (7)
Где 
и 
- заданные непрерывные функции.
Замена 
, где 
- новая неизвестная функция, 
- любая первообразная функции , преобразует линейное уравнение (7) в уравнение с разделяющимися переменными вида:
. (8)
Решив уравнение (8), найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения (7): .
Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида:
, (9)
Где и - заданные непрерывные функции, 
.
Замена 
, где - неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует уравнение Бернулли в уравнение с разделяющими переменными вида:
. (10)
Решив уравнение (10) найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения Бернулли (9): .
Задание 1. Решить уравнение: 
.
Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как правую часть уравнения можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Перепишем уравнение в виде:
И разделим переменные:
. (11)
Интегрируем (11):
,
и получаем общее решение данного уравнения:
.
Задание 2. Решить уравнение: 
.
Решение. Данное уравнение является однородным. Сделаем замену искомой функции: 
, где функция - новая искомая функция. Тогда имеем: 
. Подставляя значения 
и 
в исходное уравнение, получим уравнение
,
Или
.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
. (12)
Интегрируем (12):
,
и получаем общий интеграл уравнения (12):
.
Возвращаясь к функции 
, находим общий интеграл исходного уравнения:
.
Задание 3. Решить уравнение: 
.
Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь 
. Следовательно, 
. Сделаем замену 
, где - новая неизвестная функция. Тогда 
. Подставляя значения и в исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменным:
,
Или
.
Разделив переменные:
И интегрируя
,
Получаем, что
.
Возвращаясь к функции , находим:
- общее решение исходного линейного уравнения.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
