38. Дифференциальные уравнения семейства кривых

Однопараметрическим семейством кривых называется совокупность линий, определяемая уравнением .

Фиксируя значение параметра , получают конкретную линию данного семейства.

Например, уравнение определяет собой семейство парабол с вершиной в начале координат, симметричных относительно оси . Придавая параметру значения, получают параболы .

Дифференцируя уравнение семейства линий по (считая функцией от ):

И исключая параметр , приходят к дифференциальному уравнению вида , которому удовлетворяет любая линия данного семейства.

Пример 2. Из семейства окружностей выделить ту, которая проходит через точку . Составить дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Чтобы выделить нужную окружность, необходимо найти соответствующее ей значение параметра . Так как искомая окружность проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя , получим . Искомое уравнение имеет вид: .

Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства окружностей , продифференцируем его по :

или .

< Предыдущая		Следующая >