5.11.5 Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные, которые для исходной функции будут частными производными второго порядка. Так, для функции можно определить четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

, ,

, .

Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. , , ,

, , .

Пример 2. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. ; ;

; ;

; .

Можно определить производные еще более высоких порядков. Так, для функции можно написать восемь частных производных третьего порядка: .

Аналогично определяются частные производные высших порядков для функции с любым числом независимых переменных.

В примерах 1 и 2 смешанные частные производные совпали, то есть , однако это не всегда так. Существуют различные условия, достаточные для того, чтобы величина смешанных частных производных не зависела от порядка дифференцирования. Приведем наиболее простое и часто употребляемое условие.

Теорема 1. Если частные производные функции до порядка включительно непрерывны, то ее смешанные производные до порядка не зависят от порядка дифференцирования.

В рассмотренных выше примерах условия теоремы были выполнены, поэтому смешанные частные производные совпали.

Пусть и – независимые переменные. Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от полного дифференциала: . Аналогично . Дифференциалы высших порядков вычисляются в предположении, что и остаются постоянными. Если удовлетворяет условиям теоремы 1, то есть , то формулу для вычисления можно записать в виде:

. (1)

Это выражение напоминает формулу для квадрата суммы двух слагаемых. Выражение для напоминает формулу куба суммы двух слагаемых и имеет вид:

. (2)

Эта аналогия в формулах может быть продолжена и дальше:

.

Дифференциалы высших порядков, начиная со второго, свойством инвариантности формы не обладают и выражения для них более громоздкие, чем формулы (1) и (2). Например, для функции , где , , второй дифференциал находится по формуле:

.

Пример 3. Найти для функции .

Решение. Находим

.

Теперь по формуле (1) находим .

< Предыдущая		Следующая >