5.10.09 Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения

Определение. Говорят, что функция , заданная на некотором промежутке, имеет максимум (минимум) в точке из этого промежутка, если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности .

Максимум или минимум называют экстремумом функции.

По определению максимума и минимума функции они могут достигаться только во внутренней точке области ее определения, так как требуется чтобы имела смысл во всех точках окрестности .

Понятие экстремума нельзя смешивать с понятием наибольшего и наименьшего значений функции на всем промежутке ее задания. Экстремальные значения функции являются наибольшими или наименьшими только по отношению к близлежащим точкам, а по отношению к другим точкам значение может оказаться и не наибольшим или не наименьшим. Когда же говорят о наибольшем значении на , то под этим понимают такое ее значение, больше которого нет ни в одной точке этого отрезка, включая и концы. Следовательно, наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке могут быть либо экстремальные значения, либо значения на концах .

Практические способы нахождения точек, в которых функция имеет экстремум, базируются на следующих теоремах.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума).

Если функция имеет экстремум в точке и существует , то .

Условие не является достаточным для существования экстремума, то есть производная может обращаться в нуль и в точках, где нет экстремума. Например, для производная , если , однако экстремума в этой точке нет, поскольку в любой окрестности нуля есть точки, значения функции в которых будут и больше, и меньше, чем .

Точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными. Функция может иметь экстремум также в точках, где обращается в бесконечность или не существует. Все такие точки называют подозрительными на экстремум или критическими.

Для того чтобы решить вопрос о наличии экстремума в подозрительной точке, надо каждую точку подвергнуть дополнительному исследованию.

Первый способ исследования. (Первый достаточный признак экстремума).

Если при переходе через подозрительную точку в направлении возрастания меняет знак, то в этой точке имеет экстремум, причем: 1) если знак меняется с на , то в точке – максимум,

2) если с на , то в точке – минимум.

Если же при переходе через точку не меняет знака, то в этой точке нет экстремума.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Ее производная всюду конечна, следовательно, подозрительными на экстремум будут только стационарные точки. Решая уравнение , получим . Исследуем знак производной в непосредственной близости от точек и : и , то есть при переходе через точку слева направо изменила знак с на , следовательно, в этой точке максимум, ; и , следовательно, в точке – минимум, .

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Производная не обращается в нуль ни при каком конечном значении . В точке она обращается в бесконечность. Так как при и при , то в точке функция имеет минимум, .

Если имеет несколько критических точек, то поступают следующим образом. Расположим эти точки в порядке возрастания:

. (1)

В каждом из интервалов существует конечная , имеющая постоянный знак в каждом интервале (если бы меняла знак, то в силу непрерывности внутри интервала нашлась бы точка, в которой , что невозможно, так как все такие точки перечислены в (1)). Взяв по одной точке из каждого интервала, получим некоторую последовательность знаков , что позволит сразу решить вопрос о наличии экстремума в каждой подозрительной точке.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Функция определена на промежутке .

Производная всюду конечна, следовательно, подозрительными на экстремум будут только стационарные точки. Решая уравнение , найдем . (Точки уже записаны в порядке возрастания.)

Промежуток этими точками разобьется на интервалы .

Учитывая, что на знак влияют только два ее сомножителя и , определение ее знаков в каждом из интервалов проведем по следующей схеме:


	-	-	-	+
	-	-	+	+
Знак	+	+	-	+

Отсюда делаем вывод, что в точке экстремума нет, в точке – максимум, , а в точке – минимум, .

Второй способ исследования. (второй достаточный признак экстремума).

Пусть имеет в точке и в ее окрестности непрерывные первую и вторую производные, причем . Тогда имеет в точке минимум (максимум), если .

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим , стационарные точки . В точке имеем максимум, так как , а в точке – минимум, так как , причем .

Второй способ исследования практически более удобен, так как он быстрее приводит к цели, но он не всегда применим. Этим способом не охватываются случаи, когда в исследуемой точке не существует первой производной, а также когда вторая производная равна нулю. Иногда и вычисление второй производной настолько громоздко, что проще воспользоваться первым способом.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. По определению модуля заданную функцию перепишем в виде

Очевидно, что для и для , то есть имеются разные односторонние производные, следовательно, в точке не существует. Так как стационарных точек нет, то единственной точкой, подозрительной на экстремум, является . Второй достаточный признак экстремума неприменим, так как . Воспользуемся первым достаточным признаком. Поскольку при переходе через точку слева направо сменила знак с на , то в этой точке имеет минимум и .

Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Для решения задачи достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка, а затем, не проводя исследования на экстремум, сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее значения. Найдем . Из уравнения находим стационарные точки . Других подозрительных точек нет. Сравнивая значения , , , заключаем, что является наименьшим, а – наибольшим значениями функции на .