5.10.05 Дифференциал функции

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где – константа, а – бесконечно малая при .

Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем .

Пусть дифференцируема в точке и , тогда , где при . Величина и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при . Сравним их: , то есть – бесконечно малая более высокого порядка, чем .

, то есть . Следовательно, представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно часть приращения (линейная – значит содержащая в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции в точке и обозначают или . Итак, для произвольных значений

. (1)

Полагают , тогда

. (2)

Как видим, для нахождения дифференциала нужно умножить производную на . Это позволяет из таблицы формул для производных сразу записать соответствующую таблицу для дифференциалов. Например, умножив обе части формулы на , получим , или .

Дифференциал функции линейно выражается через , в то время как приращение находится в более сложной зависимости от .

Пример 1. Для функции найти выражение для и при некоторых значениях и .

Решение. ; (взяли главную линейную относительно часть ). В данном случае .

Таким образом, с одной стороны, вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения, с другой стороны, и допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения . Эти обстоятельства позволяют во многих случаях заменять величиной . Из приближенного равенства , учитывая, что , а , получим , где .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Взяв функцию , имеем: . Полагая (выбираем сами, чтобы корень извлекался), , получим .

Пример 3. Вычислить значение функции в точке .

Решение. В качестве возьмем число 0, то есть , тогда и . По таблице . Ошибка получилась незначительная.

Отметим еще одно важное свойство дифференциала. Формула для нахождения дифференциала верна как в случае, когда – независимая переменная, так и в случае, когда – функция от новой переменной . Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности его формы. Например, для функции дифференциал запишется в виде независимо от того, является ли независимой переменной или функцией. В случае, если – функция и конкретно задана, например , то вычисление можно продолжить, для чего найдем и подставим в ранее полученное выражение для :

.

Если вместо формулы (2) воспользовались бы неинвариантной формулой (1), то в случае, когда – функция, мы не могли бы подобным образом продолжить вычисление , так как , вообще говоря, не совпадает с .

Задачи для самоконтроля.

1. Найти дифференциалы следующих функций:

А) ; Ответ: .

Б) ; Ответ: .

В) ; Ответ: .

2. Известно, что и – дифференцируемые функции от . Найти дифференциал функции , если:

А) ; Ответ: .

Б) ; Ответ: .

В) ; Ответ: .

3. Найти приращение и дифференциал функции в точке при и . Найти для каждого из этих значений абсолютную и относительную погрешности, которые допускаются при замене приращения дифференциалом функции.

Ответ: при , абсолютная погрешность 8, относительная ; при , абсолютная погрешность 0,062, относительная ; при , абсолютная погрешность 0,0006, относительная .

4. Вычислить приближенно:

А) при . Ответ: .

Б) при . Ответ: .

В) . Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >