5.02 Сегмент, интервал, окрестность

Определение. Множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству , называется сегментом или отрезком (обозначается ), а удовлетворяющих строгому неравенству – интервалом (обозначается ). Числа и называются концами, а число – длиной как сегмента , так и интервала .

Определение. Множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству или , называется полусегментом или полуинтервалом и обозначается соответственно или .

Интервалы и полуинтервалы могут быть и бесконечными. Для обозначения множества вещественных чисел пользуются символом . Знаки и не являются числами, (а являются только символами) и для них нельзя указать соответствующих точек прямой. Поэтому в обозначениях интервалов со стороны таких знаков квадратные скобки не ставят. Сегменты, интервалы и полуинтервалы (конечные и бесконечные) объединяют под общим названием – промежутки.

Определение. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

Часто рассматривают симметричную окрестность точки , то есть интервал , при этом называют радиусом окрестности.

Изобразим на прямой окрестность точки 5 радиуса 3:

Для того, чтобы показать, что точка находится в этой окрестности, воспользуемся неравенством . В общем случае – окрестность точки может быть задана неравенством .

Определение. Окрестностью бесконечно удаленной точки называется внешность некоторого отрезка. Симметричной окрестностью точки называется внешность любого отрезка, симметричного относительно нуля.

С помощью неравенств – окрестность бесконечно удаленной точки записывается в виде , или, объединяя в одно неравенство, .

Определение. Точка называется предельной точкой множества, если в любой ее окрестности содержится, по крайней мере, одна точка данного множества, отличная от .

Из определения следует, что в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число точек данного множества. Предельная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

Определение. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит этому множеству вместе со своей окрестностью.

Определение. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему. Сама граничная точка может как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Совокупность граничных точек множества называется его границей.

Определение. Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым, в противном случае – открытым.

Примеры: 1) для множества рациональных чисел граничными являются все точки отрезка как рациональные, так и иррациональные;

2) для множества точек граничными являются сами точки этого множества и нуль.

5.03 Числовая последовательность и ее предел

Если каждому натуральному числу сопоставить вещественное число , тем самым зададим некоторые вещественные числа, определенным образом перенумерованные: имеет номер 1, – номер 2 и т. д. Тогда говорят, что задана последовательность чисел, или числовая последовательность:

, (1)

Которая кратко обозначается .

Числа, составляющие последовательность, называются ее членами, а – общим или -м членом последовательности. В отличие от числового множества, у которого все элементы различны, последовательность может иметь среди своих членов одинаковые, например: или Числовое значение зависит от , то есть является функцией от , поэтому числовая последовательность может рассматриваться как функция натурального аргумента.

Пример 1. Последовательность задана общим членом . Написать члены последовательности.

Решение. , , , .

Для сокращения записей в дальнейшем будем использовать логические символы: квантор общности и квантор существования . Запись означает: любой (всякий) , а – существует (найдется) .

Определение. Последовательность (1) называется ограниченной, если , такое, что выполняется неравенство .

Пример 2. Доказать, что последовательности и – ограниченные, а последовательность - не ограничена.

Решение. Очевидно, что для любого справедливо неравенство . Умножая на 3, получим .

Оценим по модулю общий член последовательности : .

Предположим, что последовательность ограничена сверху, то есть существует число такое, что , тогда или , т. е. неравенство выполняется не для всех , а только для , удовлетворяющих условию , следовательно, не ограничена.

Определение. Число называется пределом числовой последовательности при , если для всякого можно указать номер , такой, что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Обозначают или и говорят, что последовательность сходится к . Если последовательность не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся. Заметим, что величина зависит от , которое выбирается произвольно. Чем меньше , тем , вообще говоря, будет больше (за исключением случая, когда последовательность состоит из одинаковых членов). Очевидно, что если и неравенство выполняется при , то оно подавно будет выполняться при .

Пример 3. Показать, что последовательность имеет своим пределом число 1.

Решение. По определению предела числовой последовательности , .

Будем решать последнее неравенство относительно : . Таким образом, получили, что неравенство выполняется не для всех номеров , а только для тех, которые больше , следовательно, за можно взять целую часть числа , то есть . Если окажется, что , то можно взять равным 1. В определении говорится, что может быть любым положительным числом, в частности, если , то , если , то и т. д.

Пример 4. Показать, что последовательность, заданная общим числом , имеет своим пределом число .

Решение. Возьмем любое . Так как , то из неравенства получим , то есть достаточно взять и тогда при .

Пример 5. Показать, что числовая последовательность с общим членом не имеет предела.

Решение. В подробной записи эта последовательность имеет вид:

Будем рассуждать от противного. Пусть последовательность имеет своим пределом некоторое число . Тогда по определению предела для любого , в том числе и для , найдется , что для . Так как принимает попеременно значения 1 и –1, то должно быть и . Тогда получим , то есть , чего быть не может.

Для доказательства того, что некоторое число не является пределом последовательности, достаточно убедиться, что не все требования, сформулированные в определении предела, выполнены. Допустим, что не является пределом данной последовательности. Это значит, что Нельзя для Любого найти соответствующий , о котором говорится в определении, то есть существует хотя бы одно , для которого невозможно найти такого , чтобы неравенство выполнялось бы для всех . Иначе говоря, найдется хотя бы одно значение , для которого .

Пример 6. Доказать, пользуясь определением предела, что число не является пределом последовательности с общим членом .

Решение. Оценим снизу абсолютную величину разности : , так как при любом . Следовательно, если взять в качестве , то и искать в соответствии с определением бессмысленно.

Дадим геометрическое истолкование предела числовой последовательности.

Числовую последовательность можно рассматривать как последовательность точек прямой и о пределе можно говорить как о точке на прямой. Так как неравенство равносильно неравенству , то определение предела можно сформулировать так: точка будет пределом последовательности точек если, какую бы окрестность точки мы ни задали, найдется такое, что все точки последовательности с номерами попадут в заданную окрестность.

Вне этой окрестности может оказаться лишь Конечное число точек .

Общий член последовательности можно рассматривать как переменную, принимающую эту последовательность значений, поэтому предел последовательности (1) называют также и пределом переменной .

Вопросы для самопроверки и упражнения.

1. Дана последовательность точек Все точки этой последовательности, начиная с пятой, находятся в окрестности нуля . Почему из этого, однако, не следует, что точка нуль является пределом данной последовательности?

2. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что . Начиная с какого , будет ?

3. Доказать, что число 1 не является пределом переменной .

4. Привести пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.

< Предыдущая		Следующая >