4.1.1 Матрицы и определители. Основные понятия

Исторически понятия матрицы и определителя появились в связи с изучением систем линейных уравнений. Мы же начнем изучение линейной алгебры с этих двух понятий, а затем покажем, каким образом можно использовать матричный аппарат для решения других задач.

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, составленная из чисел ( строк, столбцов).

Обозначаются матрицы

, ,

Или кратко: , или одной буквой, например .

В частности, когда , матрица состоит из одной строки и называется матрицей – строкой. Если же , а , то получаем одностолбцовую матрицу, которую называют матрицей-столбцом.

Числа называются элементами матрицы.

Вообще, элементы матрицы могут быть произвольной природы, однако в данном разделе рассматриваются числовые матрицы.

Если , то матрицу называют квадратной матрицей порядка .

Определение. Перестановку чисел , когда большее число стоит раньше (левее) меньшего, назовем инверсией или беспорядком.

Число инверсий в перестановке обозначается .

Например, (Слагаемые в сумме показывают, сколько инверсий образуют числа в исходной перестановке).

Определение. Определителем Квадратной матрицы -го порядка называется алгебраическая сумма слагаемых, в каждом из которых сомножителей, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое имеет множитель , где – число инверсий в перестановке верхних индексов (индексов строк), – число инверсий в перестановке нижних индексов (индексов столбцов). Число называется порядком определителя.

Для обозначения определителя используются символы:

Замечание 1. Определитель – число, поэтому, когда говорят о строках и столбцах определителя, то под этим понимают строки и столбцы соответствующей матрицы.

Замечание 2. Если верхние (нижние) индексы расположить в порядке возрастания (что достигается перестановкой сомножителей), то для определения знака каждого слагаемого в определителе достаточно сосчитать число инверсий только среди нижних (верхних) индексов.

Пример 1. Какое из слагаемых: a) , b) , c) , d) входит в качестве слагаемого в определитель 4-го порядка и с каким знаком?

Решение. Произведения b) и d) не могут войти в качестве слагаемых в определитель 4-го порядка, так как в b) присутствуют два элемента из второго столбца (должно быть по одному), а из четвертого столбца нет ни одного элемента; произведение d) имеет пять сомножителей, а у определителя 4-ого порядка четыре cтроки и четыре столбца. Два других произведения входят в качестве слагаемого в определитель 4-ого порядка, так как каждая строка и каждый столбец представлены единственным элементом, причем а) входит со знаком плюс, а с) со знаком минус. Действительно, расположим, допустим, нижние индексы по порядку , и сосчитаем , . Перед слагаемым а) будет множитель , а перед с) множитель , которые и определяют знак.

Можно было бы не наводить порядок среди индексов, тогда для слагаемого а) нужно сосчитать , и поставить перед ним знак , для слагаемого с) считаем , и ставим знак .

Пример 2. Выбрать значения и так, чтобы произведение входило в определитель пятого порядка со знаком минус.

Решение. По верхним индексам видим, что в произведении первая, третья и пятая строки представлены каждая своим элементом, а вторая и четвертая – нет. Следовательно, и должны принимать значения или . Имеется две возможности: 1) , или 2) , . Исследуем знак слагаемого в каждой ситуации. Для этого расположим индексы столбцов по порядку и найдем , . Итак, исследуемое слагаемое войдет в определитель пятого порядка со знаком минус, если положить , .

Определение. Матрица , полученная из матрицы заменой строк столбцами с теми же номерами и наоборот, называется транспонированной по отношению к .

.

Определители обладают рядом свойств, которые лежат в основе практических способов их вычисления.

Свойство 1. Определитель квадратной транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны, т. е. любое свойство определителя, доказанное для строк, справедливо и для столбцов и наоборот.

Свойство 2. При перестановке любых двух строк определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно выносить за знак определителя.

Свойство 5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Свойство 6. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

< Предыдущая		Следующая >