3.2 Плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

, (12)

Или

, (13)

Где . Уравнение (13) называется общим уравнением плоскости. Вывод этого уравнения полностью повторяет вывод общего уравнения прямой на плоскости.

Еще раз подчеркнем геометрический смысл каждой буквы, входящей в уравнения (12) и (13): – координаты текущей точки плоскости, – координаты фиксированной точки плоскости, – координаты любого вектора перпендикулярного плоскости, называемого нормалью плоскости.

Если коэффициенты уравнения (13) не равны нулю, то его можно привести к виду , где – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, поэтому это уравнение называют уравнением плоскости в отрезках.

Всякое уравнение первой степени в пространстве определяет плоскость.

Расстояние от точки до плоскости, заданной в виде (13), находится по формуле

. (14)

Двугранный угол между плоскостями и совпадает с углом между их нормалями и вычисляется по формуле

. (15)

Если плоскости параллельны, то , следовательно, их координаты пропорциональны – условие параллельности плоскостей.

Условие ортогональности плоскостей можно записать в виде или в координатной форме .

Пример 1. Можно ли однозначно ответить на вопрос: «Прямую или плоскость определяет уравнение ?»

*** Однозначного ответа на поставленный вопрос дать нельзя, так как если это уравнение рассматривать на плоскости, то оно описывает прямую, если же в пространстве, то оно задает плоскость, одна из координат нормали которой равна нулю.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение. У параллельных плоскостей общая нормаль , тогда по формуле (12) получим или .

Укажем два способа нахождения уравнения плоскости:

I. Воспользоваться готовым уравнением плоскости (12) или (13) и тогда дело сведется к нахождению любой фиксированной точки плоскости и любого вектора, перпендикулярного искомой плоскости.

II. Решать задачу средствами векторной алгебры, не используя уравнений (12), (13).

Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Решение.

Первый способ. Чертеж рекомендуем делать обязательно. Фиксированная точка дана по условию. Осталось найти нормаль . Вектор и . Подобная ситуация – когда один вектор ортогонален одновременно двум другим векторам, встречалась в векторной алгебре при определении векторного произведения векторов. Напомним: если , то: 1) ,; 2) – правая тройка; 3) . Второе условие говорит об ориентации , а третье – о его длине. Поскольку ни длина, ни ориентация не играют никакой роли, а первое условие выполнено, то нормаль можно найти как векторное произведение и :

Подставляя координаты точки и в уравнение (12), получим , откуда .

Проверка. Так как и , то и . Действительно: и . Точка должна принадлежать плоскости: . Задача решена верно.

Второй способ. На чертеже не изображена нормаль искомой плоскости, так как мы будем решать задачу, не используя уравнения плоскости, а значит ничего не зная о ее нормали.

Уравнение какого бы то ни было геометрического образа невозможно составить без текущей точки. Возьмем на плоскости текущую точку и соединим ее с точкой . Получим вектор .

Векторы , и компланарны, следовательно . Это и будет уравнение искомой плоскости в векторной форме, так как ему удовлетворяет любая точка этой плоскости и не удовлетворяет никакая другая точка (если взять точку , лежащую выше или ниже плоскости, то не будет лежать в плоскости и , , не будут компланарными, а значит их смешанное произведение не равно нулю).

В координатной форме уравнение плоскости будет иметь вид , или, раскрывая определитель, .

Пример 4. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно оси и перпендикулярно к плоскости .

Решение. Выберем на оси любой вектор, например . Сделаем чертеж. Рекомендуем на чертеже изобразить только искомую плоскость, а положение плоскости обозначить ее нормалью (так как эти плоскости перпендикулярны, то параллельна искомой). Так как и , то

Подставляя координаты точки и вектора в уравнение (12), получим искомое уравнение .

Пример 5. Даны вершины треугольника , , . Через сторону провести плоскость перпендикулярно плоскости треугольника.

Решение. Составим уравнение плоскости (плоскости треугольника), проходящей через три данные точки. Найдем , ,

Уравнение плоскости треугольника: . Теперь задача свелась к нахождению уравнения плоскости, проходящей через перпендикулярно плоскости .

Так как и , то

Возьмем , тогда получим из (12) , .

Пример 6. Через точки и провести плоскость, образующую угол с плоскостью .

Решение. Будем искать уравнение плоскости в виде , где . Так как , то или в координатах: . По формуле (15): . Для нахождения трех неизвестных получаем систему