05.7 Неоднородные системы

Рассматривается неоднородная система линейных уравнений Ах = b С n-Неизвест-ными.

12°. (Кронекер-Капелли). Система Ах = b Совместна тогда, и только тогда, когда ранг главной матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы rangA = rangà (à = (A|b)).

◀ 1) Пусть система Ах = b – Совместна Þ $С такой, что Ас = b Т. е. C1S1 + C2S2 +…+ CnSN=B. Таким образом, последний столбец матрицы à является линейной комбинацией столбцов матрицы А Þ rangA = Rangà .

2). Пусть rangA = Ã . Тогда базисные столбцы общие, т. е. являются столбцами матрицы А Þ столбец B является линейной комбинацией столбцов S1, S2, … , Sn Þ $C1, c2, …, cn Такие, что C1S1 + C2S2 +…+ CnSn = B Т. е. Аc = b. Система совместна. ▶

13°. Если неоднородная система линейных уравнений совместна и rangA = Rangà = N, то она имеет единственное решение (по теореме Крамера).

Пусть теперь rangA = Rangà = R ≤ n.

14°. Разность двух различных решений неоднородной системы линейных уравнений является решением соответствующей однородной системы, т. е. если C(2) и C(1) два решения неоднородной системы Ах = b, то C(2) – c(1) решением однородной системы Ах = 0.

◀ А(C(2) – c(1)) = Аc(2) – Аc(1) = B – b = 0, т. е. C(2) – c(1) = c(0). Здесь через C(0) обозначено некоторое решение однородной системы. ▶

15°. Сумма любого решения однородной системы C(0) и некоторого решения неоднородной системы C(1) есть решение неоднородной системы.

◀ А(C(0) – C(1)) = Аc(0) + Аc(1) = 0 + b = b. ▶

Предыдущие два утверждения доказывают теорему об общем виде решения неоднородной системы и линейных уравнений.

16°. Общее решение неоднородной системы уравнений есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы. Эту фразу можно записать с помощью легко запоминающейся аббревиатуры:

О. Р. Н. С. = О. Р. О. С. + Ч. Р. Н. С.

Способ решения неоднородных систем линейных уравнений таков:

1). Если rangA = Rangà = N, то решение единственно и может быть найдено по Крамеру;

2). Если rangA = Rangà = R < n то, записав систему в виде

X1S1 + X2S2 +…+ XrSr = B – Xr+1Sr+1 –…– xnSn.

А) положив Xr+1, Xr+2, …, Xn равными любим фиксированным значениям, получим систему неоднородную (R- уравнений с R-неизвестными) имеющей единственное решение, ибо ее определитель не равен 0. Тем самым будет найдено частное решение неоднородной системы.

B) выбросив вектор B: X1S1 + X2S2 +…+ XrSr = – Xr+1 Sr+1 –…– xnSn И применяя процедуру, описанную в предыдущем параграфе, построим базис в пространстве L решений однородной системы уравнений {E1, e2, ..., En–R}.

С). Тогда X(неодн.) = X(частн.) +

Система векторов {E1, e2, ..., En–R} Называется фундаментальной системой решений для системы уравнений Ах = 0.

Если М – множество решений неоднородной системы уравнений, X(r)– некоторое частное решение неоднородной системы уравнений, L– пространство решений соответствующей линейной однородной системы, то M = X(R)+ L, т. е. М – есть линейное многообразие размерности N – r.

< Предыдущая		Следующая >