05. 6. Однородные системы

Рассматривается однородная система линейных уравнений с N-Неизвестными:

Ах = 0 х(Х1, X2, …, xn).

9°. Если rangA = n, то система имеет только тривиальное решение (Х1 = x2 = …= xn = 0);

Если rangA < n, то система кроме тривиальных имеет и не тривиальные решения.

◀ Запишем систему Ах = 0 как линейную комбинацию столбцов: X1S1 + X2S2 +…+ xnSn = 0 .

1) rangA = n Þ столбцы S1, S2, …, Sn Линейно независимы Х1 = x2 = …= xn = 0 (как коэффициенты тривиальной линейной комбинации линейно независимых векторов).

2) rangA = R < n Þ S1, S2, …, Sn – линейно зависимы Þ $ Ненулевой набор Х1, x2,…, xn, такой что X1S1 + X2S2 +… + xnSn = 0. ▶

10°. Если С(1) и С(2) два различных решения однородной системы Ах = 0, то "a1, a2ÎК a1С(1) + a2С(2) тоже решение той же системы.

◀ Справедливость этого утверждения следует из известного свойства матриц

А(a1 с(1) + a2С(2)) = a1А с(1) + a2Ас (2) = 0. ▶

По сути дела теперь можно утверждать, что множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство L.

11°. Размерность пространства L решений линейной однородной системы уравнений Ах = 0 с N-неизвестными удовлетворяет соотношению: dimL = N – RangA.

◀ Пусть rangA = R и S1, S2, …, Sr – базисные столбцы матрицы А.

Записав систему Ах = 0 в виде X1S1 + X2S2 +…+ xrSr = –Xr+1Sr+1 – Xr+2Sr+2 –… – xnSn, отметим, что по набору xr+1, xr+2, …, xn, всегда, и притом однозначно, находятся x1, X2, …, xr (по теореме Крамера).

Пусть ( C1, c2, …, cr, cr+1, …, cn) решение системы Ах = 0. Каждому такому вектору из L Поставим в соответствие вектор (Cr+1, cr+2,…, cn) из Кn–R. Это соответствие взаимно однозначно в силу сделанного выше замечания. Соблюдается это соответствие и при сложении векторов, и при умножении вектора на скаляр. Таким образом пространства L И Кn–R изоморфны и, следовательно, dimL = dimКn–r = N – R = n – rangA. ▶

Доказанная только что теорема дает и Способ построения базиса в L .

Записав систему Ах = 0 в виде X1S1 + X2S2 + … + xrSr = – Xr+1Sr+1 – xr+2Sr+2 –… – xnSn.

1) Положим xr+1 = 1, xr+2 = Xr+3=… = xn = 0. Найдем (они существуют и единственны по теореме Крамера). Получим вектор – решение: Е1(,1, 0, 0,…, 0).

2) Положим: Xr+1 = 0, Xr+2 = 1, Xr+3 = … = xn = 0. Найдем . Получим:

Е2 (,0, 1, 0, …, 0 ).

3) Получим: .

4) Построенная система векторов линейно независима и образует базис в L.

< Предыдущая		Следующая >