04.10. Некоторые приемы вычисления определителей NГО порядка
1. Метод приведения к треугольному виду.
А) Вычислить определитель: 
.
Вычитая первую строку из всех остальных, получаем определитель, который имеет треугольный вид и, следовательно, равен произведению диагональных элементов:
. В итоге Dn = (–1)N–1.
Б) Вычислить определитель:
.
Вычитаем первую строку из всех остальных, а затем, из столбцов определителя выносим: из первого А1 – Х; из второго А2 – Х; …..; из N го Аn – Х. Получим:
D = (A1 – X) (A2 – x)… (An – x)
.
Запишем первый элемент первого столбца в виде: 
= 1 + 
, и все столбцы полученного определителя прибавим к первому столбцу. Получим определитель треугольного вида, который равен произведению диагональных элементов. Следовательно:
D = (A1– X) (A2 – X)…(An – X)X
+
+
+ … +
.
2. Метод выделения линейных множителей.
А) Вычислить определитель 
.
1. Прибавляя к первому столбцу определителя остальные три, обнаружим, что в первом столбце есть общий множитель, который равен Х + У + Z. Следовательно, определитель делится на Х + У + Z.
2. Аналогично, прибавляя к первому столбцу второй и вычитая из него третий и четвертый столбцы, получаем, что определитель делится на Х – У – Z.
3. Если первый столбец сложить с третьим и вычесть второй и четвертый, то получим, что определитель делится на Х – У + Z.
4. Если к первому столбцу прибавить четвертый и вычесть второй и третий столбцы, то обнаружим, что определитель имеет множитель Х – У + Z. Итак:
= 
.
Ясно, что определитель является многочленом 4й степени по X, по Y и по Z. Справа тоже многочлен той же степени. Поэтому V = const. В определитель X4 входит в слагаемом:
A12A21A34A43 = (–1)2×Х×Х×Х×Х = Х4.
В правой части старший член по Х: Vx4, т. е. V = 1. Получаем результат:
= (X + Y + Z)(X – Y – Z)(X – Y + Z)(X + Y – Z) = X4 + Y4 + Z4 – 2X2Y2 – 2X2Z2 – 2У2Z2.
Б) Вычислить определитель N-го порядка: 
.
Этот определитель Называется определителем Вандермонда. Рассматривая его как многочлен (N –1)й степени относительно Xn увидим, что он обращается в 0 при Xn = X1, Xn = X2, … Xn = Xn – 1. Тогда Dn = An – 1(Xn – X1)(Xn – X2) … (Xn – xn–1), причем An–1 = = Dn–1. Повторяя эту процедуру, получим: Dn = (X2 – X1)(X3 – X2)(X3 – X1)(X4 – X3)(X4 – X2)(X4 – –X1)… = 
.
3. Метод представления определителя в виде суммы определителей.
Вычислить определитель:
.
Заметив, что элементы первого столбца представлены как суммы двух чисел, разложим определитель в сумму двух определителей:
.
Теперь каждый из полученных определителей разложим в сумму двух определителей, воспользовавшись тем, что элементы вторых столбцов у них также представлены в виде сумм, и т. д. Проделав это, получим (N > 2), что строки полученных определителей будут такими: Ai, ai, … , ai Или B1, B2, … ,bn . Строки 1го типа пропорциональны, 2го типа равны и, следовательно, все слагаемые равны нулю. Следовательно: Dn = 0 ("N > 2).
Для определителей такого же типа, но первого и второго порядков получим:
D1 = | A1+ b1 | = A1+ b1; D2 = 
=
= A1B2 – a2B2 + b1A2 – a1B1 = (A1 – A2)B2 + (A2 + A1)B1 = (A1 – A2)(B2 – B1).
4. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
Вычислить определитель N–го порядка: 
.
Разлагая определитель по элементам первой строки, получим рекурентное соотношение: Dn=
.
Разложив определитель в правой части соотношения по первому столбцу, запишем новое рекурентное соотношение: Dn = 5Dn–1 – 6Dn–2.
Представляя это соотношение в виде: Dn – 2Dn–1 = 3(Dn–1 – 2Dn–2) и вводя обозначение:
ТN = Dn – 2Dn–1 получим: ТN = 3ТN–1 – 32ТN–2 = … =3 n-2T2=3n.
Аналогично, записав рекурентное соотношение в виде: Dn – 3Dn–1 = 2(Dn–1 – 3Dn–2) и обозначая: Vn = Dn – 3Dn–1 получим Vn = 2Vn=1 = 22Vn–2=…= 2N .
|
|
Dn = 3N + 1 – 2N + 1.
В общем случае, для рекуррентных соотношений типа: Dn = PDn – 1 + QDn – 2 .можно проделать следующее: пусть a и b корни уравнения X2 – Px – Q = 0, т. е. P = a + b,
Q = –ab. Тогда Dn = aDn – 1 + bDn –1 – abDN – 2; Dn – aDn -–1 = b(Dn – 1 – aDn – 2), т. е. Sn = bSn – 1 или Dn – bDn -–1 = a(Dn – 1 – bDn – 2), т. е. Vn = bVn – 1 .
Аналогично можно поступить и в более сложных рекуррентных соотношениях.
5. Метод изменения элементов определителя.
19°. Если ко всем элементам определителя D добавить одно и то же число X, то определитель увеличится на произведение числа X на сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя D.
◀ Пусть D = | Aij |; D¢ = | Aij + X |. Разложим D¢ в сумму двух определителей относительно первой строки, каждый из них на два относительно второй строки и т. д. Слагаемые, содержащие более одной строки элементов X, равны нулю.
Слагаемые, содержащие одну строку элементов X, разложим по этой строке. Получим D¢ = D + X. ▶
А). 
. Вычтем из всех элементов определителя число X
. Тогда Dn = (A1 – X)(A2 – X)…(AN – X) + X
= (A1 – X)(A2 – X)...
…(An – X) + X = (A1 – X) (A2 – X) … (An – X) + X
= (A1 – X )( A2 – X )…( An– X ) +
+ X
=
= x(A1 – X) (A2 – X) … (An – x) 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
