04.05. Полилинейный функционал

Если "X1, X2, …, XkÎVn $j(X1, X2, …, Xk)ÎK и j(X1, X2, …, xk) линеен по каждому из аргументов X1, X2, …, Xk (K £ dimVn) то говорят, что на Vn задан полилинейный (K – линейный) функционал или полилинейная (K – линейная) форма.

Полилинейный функционал называется симметричным по паре аргументов Xi и Xj , если j(…Xi, … Xj, …) = j(…Xj, … Xi, …) и антисимметричным по паре аргументов Xi и Xj , если j(…Xi, … Xj, …) = –j(…Xj, … Xi,…).

Полилинейный функционал называется абсолютно симметричным, если он симметричен по любой паре своих аргументов и антисимметричным, если он антисимметричен по любой паре своих аргументов.

Рассмотрим j(X1, X2, …, Xk). X1, X2, …, XkÎVn. – базис в Vn. Тогда "I = 1, 2, …, K

Xi = Þ j(X1, X2, …, Xk) =

Где .

Конструкцию Назовем перестановкой элементов 1, 2, …, K. Обозначим

– количество беспорядков в перестановке. Беспорядок это когда большее Je стоит раньше меньшего Jm.

Например, в перестановке два беспорядка и N(2, 1, 4, 3) = 2, а в перестановке пять беспорядков N(4, 3, 1, 2) = 5.

Если функционал j(X1, X2, …, Xk) абсолютно антисимметричен, то

J(X1, X2, …, Xk) = ,

Где F = j(E1, E2, …, Ek). При этом * у знака S означает, что суммирование идет по всем наборам J1, J2,…, Jk и J1, J2,…, Jk все разные.

< Предыдущая		Следующая >