03.5. Нормированные пространства

Сосредоточив внимание на таком свойстве множества, как наличие в нем расстояния приходим к понятию метрического пространства.

Сосредоточив внимание на операциях в множестве приходим к понятию линейного пространства.

Если каждое расстояние никак ни связанно с операциями над элементами, то представляется весьма затруднительным построить содержательную теорию части которой соединяли бы вместе алгебраические и метрические понятия.

Поэтому мы будем на метрику, введенную в линейном пространстве накладывать дополнительные условия.

Вещественное или комплексное линейное пространство Х Называется нормированным пространством, если для любого ХÎХ существует вещественное число ||Х|| Называемое нормой вектора Х такое, что выполняются следующие аксиомы (аксиомы нормы):

А) ||Х|| ≥ 0 причем ||Х|| = 0 Û Х = θ (положительность нормы);

В) ||λХ|| = |λ| ||Х|| (абсолютная однородность нормы);

С) ||Х + У|| ≤ ||Х|| + ||У|| (неравенство треугольника).

Примеры норм. Если вектор х в некотором базисе имеет координаты Х = (Х1, Х2, … , ХN), то: a) ||Х||l = ; b) ||Х||2 = ; g) ||Х||P = ; d) ||Х|| = .

Норма b) Называется евклидовой нормой.

< Предыдущая		Следующая >