03.2. Предел последовательности

Вектор х0 метрического пространства Х называется пределом последовательности {Хn} элементов Х1, Х2, … из Х, если последовательность расстояний r(Х0, Х1), r(Х0, Х2), r(Х0, Х3), … , r(Х0, Хn), … стремится к нулю. При этом пишут Хn → Х0 при N → ∞ или limXn = X0. Последовательность , при этом называется сходящейся в Х, или просто сходящейся. Заметим, что , может быть сходящейся и не сходящейся в зависимости от того, в какой метрике рассматривается сходимость.

Например, если есть последовательность , из разных элементов, которая сходится в некоторой метрике r1, то, введя метрику r2, (определяемую формулой (*) из §03.1 мы увидим, что эта последовательность в метрике r2, не сходится.

1°. Если последовательность , сходится в Х, то сходится и имеет тот же предел, любая подпоследовательность , этой последовательности. ◀ ▶

2°. Если последовательность , имеет предел то этот предел единственный.

◀ Пусть {Хn} имеет два предела У1 и У2. Тогда "e>0 $N1 "N > N1 ½ r(Хn, Y1) < e/2

"e>0 $N2 "N > N2 ½ r(Хn, Y2) < e/2.

Выбрав N = max(N1, N2) получим "N > N r(Y1, Y2) £ r(Y1, Xn) + r(Хn, Y2) < e/2 + e/2 = E, т. е. r(Y1, Y2) < e В силу произвольности e r(Y1, Y2) = 0 т. е. У1 = У2. ▶

< Предыдущая		Следующая >