02.10. Ортогональное дополнение к подпространству

Вектор H Называется перпендикулярным к подпространству L, если "YÎL, (H, Y) = 0.

Если базис в L (в подпространстве), то (H, Ei) = 0, "I = 1, 2, …, K.

Множество векторов HÎL перпендикулярных к подпространству L называется ортогональным дополнением к L и обозначается L^.

7°. L^ является подпространством.

◀ X, YÎL^, ZÎL, то (aX + bY, Z) = a(X, Z) + b(Y, X) = a×0 + b×0 = 0, т. е. линейная комбинация элементов L^ остается в L^. ▶

8°. V = L ⊕L^.

◀ Пусть {E1, E2, …, Ek} базис в L. Дополним его до ортогонального базиса V. {E1, E2, …, Ek, Fk+1, Fk+2, …, Fn}. Без ограничения общности можно считать его ортонормированным: , где YÎL, ZÎL^ и это разложение единственно. ▶

9°. L∩L^ = q.

◀ XÎL, XÎL^ Þ (X, X) = 0 Þ X = q. ▶

10°. dimL + dimL^ = dimV. Доказать самостоятельно.

< Предыдущая		Следующая >