01.04. Поле

Пусть в множестве K Корректным образом определены две внутренние операции, т. е.

1) "A, BÎK $ C = a ⊕ BÎK; 2) "A, BÎK $ D = a ⊗ BÎK;

И эти операции удовлетворяют следующим свойствам:

А1) A⊕B = B⊕A – коммутативность; а2) a ⊗ B = B ⊗ A;

Б1) (A⊕B)⊕С = A⊕(B⊕С) – ассоциативность; б2) (A ⊗ B)⊗ С = A ⊗ (B ⊗ С);

В1) $qÎK А ⊕ q = А – нейтральный; в2) $ЕÎK А ⊗ Е = А;

Г1) "АÎK $BÎK (A⊕B)=q – противоположный; г2) "АÎK (A ¹q) $BÎK A⊗B = Е,

И, кроме того,

Д) (A ⊕ B)⊗С = A ⊗ C ⊕ B ⊗ С – операция ⊗ дистрибутивна по операции ⊕.

Множество K, С так введенными операциями, называется полем.

Отметим, что поле по операции 1) является абелевой группой (свойства а1, б1, в1, г1). Кроме того, поле по операции 2) после исключения из множества элемента нейтрального по операции 1), является абелевой группой (свойства а2,б2, в2, г2) и, кроме того, операции 1) и 2) связаны законом дистрибутивности операции 2) по операции 1). (Так называемый 1-й дистрибутивный закон). Отметим, что операция 1), вообще говоря, не дистрибутивна по операции 2).

Примеры

1. Q – поле рациональных чисел.

2. R – поле вещественных чисел.

3. C – поле комплексных чисел.

< Предыдущая		Следующая >