1. Введение
В настоящее время в науке и инженерной практике широко используется метод математического моделирования.
Математическим моделированием[1] Называется изучение реального объекта на ЭВМ с помощью математической модели этого объекта.
Например:
1. Совершенствование ядерного оружия путем расчетов на супер-ЭВМ. Удалось отказаться от испытаний ядерного вооружения.
2. Компьютерные тренажеры (симуляторы), созданные на основе математических моделей, появились сначала у военных, сейчас они широко применяются в производственном и учебном процессе.
Математическая модель – это приближенное математическое описание объекта (технологического процесса, реакции, явления и т. д.).
Примеры простейших моделей:
уравнение состояния идеального газа (1.1)
F =
закон всемирного тяготения (1.2)
закон сохранения энергии (1.3)
закон Кулона (1.4)
закон сохранения энергии для фотона, (1.5)
где V – Частота излучения.
Сложные модели описывают объект точнее (Адекватнее[2]).
Математическое моделирование позволило исследовать на ЭВМ очень сложные процессы, такие, например, как глобальные климатические изменения в результате применения ядерного оружия (натурный эксперимент имеет катастрофические последствия).
В литературе математическое моделирование часто принято называть Вычислительным экспериментом.
Основные этапы математического моделирования:
1. Разработка модели – Формализация. Изучается в прикладных и фундаментальных науках.
2. Разработка метода (алгоритма) решения уравнения модели – Алгоритмизация. Изучается в вычислительной математике.
3. Создание программы – Программирование. Изучается в информатике.
4. Расчеты, анализ результатов – Практическое использование.
|
Результат
|
Программа
 |
 |
|
 | |
| |
|
 |
 |
|
Предметом вычислительной математики являются численные методы (алгоритмы) решения математических задач, возникающих при исследовании реальных объектов методом математического моделирования.
Например, пусть нужно найти R из уравнения (1.2) или (1.4), 
из уравнения (1.3) или c из уравнения (1.5). Что общего в этих задачах? То, что нужно решить уравнение вида:
X 2 = a (1.6)
Вычислительная математика не рассматривает решения конкретных задач (1.2÷1.5), а изучает их решение в общем, абстрактном виде (1.6).
С точки зрения обычной математики точное решение уравнения (1.6) имеет вид:
= 
,
Причем если a > 0 , то два вещественных решения;
Если а = 0 , то тривиальное решение 
;
Если а < 0, то вещественных решений нет.
Но знак 
не решает задачу, так как Не дает практического способа (алгоритма) вычисления значения Х для конкретного значения а.
Вычислительная математика предлагает следующий алгоритм вычисления X*:
1. Выбрать начальное значение Х, например 
=а. Это начальное приближение решения.
2. Вычислять новые приближения решения Xi По формуле:
Xi = 
(1.7)
До достижения условия:
e (1.8)
Здесь i = 1,2,.. – номер вычисления - Итерации.
E – требуемая точность.
Пример. Нужно решить уравнение 
с точностью e=0,001.
Зададимся 
,
Вычислим первое приближение: 
,
Оценим точность | x1 – x0 | = 
.Требуемая точность не достигнута, нужно продолжить расчет.
Вычислим второе приближение: 
,
Оценим точность 
.
Вычислим третье приближение: 
,
Оценим точность 
.
Вычислим четвертое приближение: 
,
Оценим точность 
− точность достигнута.
Ответ: 
.
Точное значение (до 8 значащих цифр): 
Рассмотренный пример демонстрирует Принципы, общие Для итерационных методов решения задач вычислительной математики:
1. Исходная задача (1.6) заменяется другой задачей – вычислительным алгоритмом по формулам (1.7), (1.8), где используются только арифметические операции +
. Принято называть (1.7) Формулой итерационного процесса (Итерационным процессом), (1.8) - Условием завершения итерационного процесса.
2. Задача (1.7) содержит новый параметр i – Номер итерации. Очевидно, что Число итераций влияет на точность решения.
Если 
, то итерационный процесс является Сходящимся – позволяет получить решение исходной задачи (1.6).
3. Решение, полученное итерационным методом, всегда является Приближенным, Так как точное решение получить невозможно – нужны бесконечные вычисления.
Важно подчеркнуть, что формула (1.7) получена из (1.6) путём Тождественных преобразований:
Но Не всякое тождественное преобразование позволяет получить сходящийся итерационный процесс.
Например:
A) 
Выполним расчет при а=3:
; 
; 
; 
Итерационный процесс Не сходится; значения приближений Колеблются.
Б) 
; 
…
Итерационный процесс Расходится.
Рассмотренный пример иллюстрирует один из видов численных методов – Итерационный.
Виды численных методов:
1. Прямые – решение получают за конечное число арифметических действий.
2. Итерационные – точное решение может быть получено Теоретически в виде предела Бесконечной сходящейся последовательности вычислений.
3. Вероятностные – методы случайного поиска решения (Угадывания).
Все виды численных методов позволяют получить только Приближенное решение задачи, то есть численное решение всегда содержит погрешность.
| Следующая > |
|---|
