Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Вычислительная математика (Е.Н. Платонов) 14. Тема 11. Численные методы безусловной оптимизации

14. Тема 11. Численные методы безусловной оптимизации

1. Рассмотрим задачу Марковица построения оптимального инвестиционного портфеля ценных бумаг. Математическая формулировка задачи имеет вид:

.

(11.1)

Здесь (Xi,…,Xn)T, где N — количество ценных бумаг; Xi — доля
капитала, инвестированного в бумаги I-го типа; — доля капитала, вложенная в безрисковую ценную бумагу с доходностью ; , где — доходность I–ой бумаги; , где — риск портфеля; — ожидаемая доходность портфеля; — ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг; . Матрица V и вектор M считаются известными.

Поскольку задача (11.1) является многокритериальной, то поступают следующим образом: фиксируют значение квадрата риска или ожидаемую доходность и решают полученную задачу оптимизации.

Решим задачу (11.1) при фиксированном значении .

Решение. Задача имеет вид:

.

(11.2)

Поскольку задача содержит ограничения только в виде равенств,
с помощью функции Лагранжа (Л12.4) приведем эту задачу к задаче без ограничений. Так как градиенты ограничений задачи линейно независимы, то . Выпишем функцию Лагранжа:

.

Тогда из необходимых условий экстремума (Л12.6) имеем:

.

Выражая из второго уравнения , получим . Подставим его в первое уравнение, тогда . Следовательно,

.

(11.3)

Исключая из ограничений, получим . Подставим сюда выражение (11.3):

.

Обозначим , тогда, подставляя в (11.3), получим

.

Вычислим риск :

.

Из этого равенства следует, что риск оптимального портфеля зависит от линейно.

2. Методами градиентного и покоординатного спуска с постоянными шагами найти локальный минимум функции .

Решение. Будем продолжать итерационные процедуры до тех пор,
пока не будут выполнены два неравенства

,

Где K — номер итерации, а точность .

Условия сходимости алгоритмов для этой функции выполнены
(см. теоремы 3 и 4 из Л11). Сначала найдем точку методом градиентного спуска с постоянным шагом [см. Л11 и формулу (Л11.8)].

0. Пусть , . Градиент функции .

1. Вычислим . Зададим начальный шаг .

Вычислим ; .

Сравним с . Имеем . Вывод: условие не выполнено, нужно уменьшить шаг. Зададим
и повторим первую итерацию.

Вычислим ; .

Сравним с . Имеем . Вывод: увеличим K на 1
и перейдем ко второй итерации.

2. Проверим выполнение условий окончания

.

Эти условия не выполнены – значит, ищем следующую точку.

Вычислим . Зададим начальный шаг .

Вычислим ; .

Сравним с . Вывод: , переходим к следующей итерации.

3. Проверим выполнение условий окончания

.

Эти условия одновременно не выполнены – значит, ищем следующую точку.

Вычислим . Зададим начальный шаг .

Вычислим ; .

Сравним с . Вывод: , переходим к следующей итерации.

4. Проверим выполнение условий окончания

.

Эти условия выполнены, расчет окончен.

Проверим выполнение достаточных условий минимума в этой точке. Функция является дважды непрерывно дифференцируемой, поэтому вычислим матрицу Гессе . Матрица постоянна и по критерию Сильвестра является положительно определенной. Следовательно, точка есть приближение к локальному минимуму ,
а есть приближенное значение для .

Теперь найдем приближение методом покоординатного спуска.
В методе покоординатного спуска на каждой итерации меняется последовательно одна из координат переменной X (см. Л11). В нашем случае это и .

0. Пусть , . Градиент функции .

1. Зададим и найдем новую точку, изменяя первую координату.

Вычислим где , . Отсюда , .

Сравним с . Вывод: , значит, полагаем и выполняем вычисления заново.

Получаем, что , .

Сравним с . Вывод: , меняем вторую координату.

Вычислим где , . Отсюда , .

Сравним с . Вывод: , переходим ко второй итерации.

2. Проверим выполнение условий окончания

.

Эти условия не выполнены – значит, ищем следующую точку.

Полагаем , .

Вычислим

Сравним с . Вывод: , меняем вторую координату.

Вычислим .

Сравним с . Вывод: , переходим к следующей итерации.

3. Проверим выполнение условий окончания

.

Условия окончания выполнены. Окончательно полагаем .

Эта точка является приближением к , а есть приближенное значение для .

Задачи для самостоятельного решения по теме 11

1*. Решить задачу (11.1) при фиксированном значении .

2. Методами градиентного и покоординатного спуска с постоянными шагами найти локальный минимум функции .
Сделать не более пяти итераций, если точность не будет достигнута.

 
Яндекс.Метрика
Наверх