Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Вычислительная математика (Е.Н. Платонов) 05. Тема 2. Методы решения алгебраических уравнений

05. Тема 2. Методы решения алгебраических уравнений

PDF Печать E-mail

1. Пусть функции спроса и предложения имеют вид , , где Р — цена продукции. Найти равновесную цену .

Решение. Для поиска нужно решить уравнение или . Воспользуемся методами решения алгебраических уравнений, рассмотренных в Л2.

Получим решение методом дихотомии и методом Ньютона.

Для применения метода дихотомии нужно указать отрезок, в котором находится корень уравнения. Поскольку и ,
то на отрезке по теореме 1 из Л2 функция имеет хотя бы один корень. Погрешность вычислений зададим равной 0,5. В табл. 1 приведены итерации метода дихотомии.

Таблица 1

Итерация №

1

160

170

165

10

2

165

170

167,5

5

3

165

167,5

166,25

2,5

4

165

166,25

165,625

1,25

5

165,625

166,25

165,9735

0,625

6

165,625

165,9735

165,78125

0,3485

Поскольку , вычисления можно закончить и положить .

Для применения метода Ньютона нужно задать начальную точку.
Выберем . Далее используя алгоритм метода Ньютона (см. [Л2.4])

,

Получим значения, которые приведены в табл. 2. Здесь . Условием окончания итерационного процесса выберем .

Таблица 2

Итерация №

1

160

2

165,892

5,892

0,267

3

165,953

0,055

0,0027

Методом Ньютона найдена точка . Этот метод сходится значительно быстрее метода дихотомии, но для его реализации потребовалось вычисление производной функции . Кроме того, проверка достаточного условия сходимости метода: является задачей достаточно сложной. Для нашей задачи это условие выполнено, по крайней мере, на отрезке .

2. Пусть производственная функция имеет вид CES-функции (см. [5, 6]). Определить, какое количество капитала K нужно вложить, чтобы при значении валовой выпуск продукции стал равен 45.

Решение. Чтобы найти значение капитала K, нужно решить уравнение . Найдем его решения методом секущих (см. Л2). Зададим две начальные точки и и точность вычислений . Результаты вычислений приведены в табл. 3.

Таблица 3

Итерация №

1

1

2

3

2

9,405

3

5,674

2,674

12,904

4

7,268

1,594

4,472

5

8,415

1,147

2,279

6

9,081

0,666

0,473

7

8,996

0,089

0,126

8

9,000

0,004

0,006

Из таблицы видно: 1) сходимость метода секущих может быть немонотонной, особенно в начале итераций; 2) метод секущих сходится медленнее, чем метод Ньютона, но не требует вычисления производной функции.

Задачи для самостоятельного решения по теме 2

1. Пусть функции спроса и предложения имеют вид , , где Р — цена продукции. Найти равновесную цену ,
используя метод дихотомии и метод Ньютона.

2. Пусть производственная функция имеет вид . Определить, какое количество капитала K нужно вложить, чтобы при значении валовой выпуск продукции стал равен 30. Для решения уравнения использовать метод секущих.

 
Яндекс.Метрика
Наверх