5.2. Обмеженість і неперервність операторів

Визначення 5.3. Лінійний оператор, діючий із в , називається Обмеженим, якщо він переводить обмежену множину знову в обмежену і визначений на всьому .

Теорема 5.1. Лінійний оператор, визначений на всьому , неперервний тоді й тільки тоді, коли він обмежений.

В силу лінійності оператора обмеженість означає існування такого , що для всіх виконується

. (5.1)

Найменше з , що задовольняє нерівність (5.1), називається Нормою оператора і позначається .

Теорема 5.2. Для будь-якого обмеженого оператора

. (5.2)

Оператори можна додавати і перемножати. Нехай і – два лінійні оператори, що діють із в . Сума і множення на число визначаються:

1),

2).

Крім того, якщо і неперервні, то і також неперервні оператори, причому

.

Таким чином, множина всіх лінійних обмежених операторів, діючих із в , утворює лінійний нормований (з нормою (5.2)) простір, який познача-ється .

Теорема 5.3. Нехай простір банахів, тоді й також банахів.

Розглянемо тепер добуток операторів. Нехай діє з в , а оператор діє з в . Добутком називають оператор , який ставить у відповідність елементу елемент . Область визначення оператора складається з тих самих таких, що . Оператор лінійний, якщо і лінійні, неперервний (обмежений), якщо і неперервні (обмежені). При цьому справедлива оцінка

.

< Предыдущая		Следующая >