1.5. Повні метричні простори

У математичному аналізі важливу роль відіграє повнота числової прямої, тобто той факт, що будь-яка фундаментальна послідовність має границю. Таким чином, простір – найпростіший приклад повного простору. Перенесемо це поняття на довільні метричні простори.

Послідовність називається Фундаментальною, якщо вона задо-вольняє критерію Коші, тобто, якщо для будь-якого існує таке число , що для всіх , виконується нерівність

Із аксіоми трикутника випливає, що будь-яка збіжна послідовність є фундаментальною.

Визначення 1.4. Якщо в метричному просторі будь-яка фундамент-тальна послідовність збігається до деякого елемента , то нази-вається Повним простором.

У прикладах 1.2–1.11 і 1.13–1.14 простори є повними; у прикладі 1.12 – простір неповний.

Однак виявляється, що неповний простір завжди можна поповнити.

Визначення 1.5. Нехай – метричний простір. Повний метричний простір називається Поповненням простору , якщо:

1) ;

2) скрізь щільний в , тобто .

Тут означає замикання в просторі.

Теорема 1.5. Кожен метричний простір має поповнення, і це попов-нення є єдиним з точністю до ізометрії, яка залишає нерухомими точки з .

Приклад 1.20. Простір є поповненням простору всіх раціо-нальних чисел. Простір є поповненням простору всіх векторів з раціо-нальними координатами.

< Предыдущая		Следующая >