26. Непрерывное вероятностное пространство

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). В этом случае нельзя считать любое подмножество множества событием.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств пространства элементарных исходов.

В случае выполнения трех условий:

1) принадлежит этой системе;

2) из принадлежности А этой системе следует принадлежность этой системе;

3) из принадлежности и этой системе следует принадлежность Ai U Aj Этой системе

Такая система подмножеств называется Алгеброй.

Пусть — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1) , ; 2) , А, , (здесь А— подмножество W) являются алгебрами.

Пусть A1 и A2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A1 \ A2 и A1∩ A2 принадлежат этой алгебре.

Подмножество А несчетного множества элементарных исходов является событием, если оно принадлежит некоторой алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А. Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:

1) Р()=1

2) если события A1, A2,..., An несовместны, то

P(A1UA2U...UAn) = P (A1) + P (A2) +...+ P(An)

Если задано пространство элементарных исходов, алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано Вероятностное пространство.

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов. Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества.

< Предыдущая		Следующая >