23. Дисперсия случайной величины

Дисперсия DX случайной величины x определяется формулой

DX = M(x – MX)2

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину x с законом распределения

X	1	2	3
Р

Вычислим её математическое ожидание.

MX = 1× + 2× + 3× = 

Составим закон распределения случайной величины x – MX

X– MX
Р

А затем закон распределения случайной величины (x – MX)2

(x– MX)2
Р

Теперь можно рассчитать величину DX :

DX = × + × + × = 

Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:

DX = 

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

DX = 

= 

= MX2 – M2x

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате­матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания.

Пример.

Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения

X	1	0
Р	P	Q

Выше было показано, что MX = Р. Легко видеть, что MX2 = Р. Таким образом, получается, что DX = Р – Р2 = Pq.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Свойства дисперсии.

1. Если K – число, то D(KX) = K2 DX.

Доказательство.

D(KX) = M(KX – M(KX))2 = M(KX – K MX)2 = M(K2 (x – MX)2) = K2M(x – MX)2 =

= K2 DX

2. Для попарно независимых случайных величин x1, x2,¼, xN справедливо равенство

Это свойство оставим без доказательства. Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.

Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законами распределения:

X	0	1		H	1	2
Р	0,25	0,75		Р	0,7	0,7

Показать, что D(x + h) = DX + DH.

< Предыдущая		Следующая >