06. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть случайная величина X (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия DX = S 2 (S > 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема N. Выборка X1, x2,..., xn рассматривается как совокупность N независимых случайных величин, распределенных так же как X (подход, которому дано объяснение выше по тексту).

Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:

Mx1 = Mx2 = ... = Mxn = MX;

Dx1 = Dx2 = ... = Dxn = DX;

MX;

DX /N;

Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина в данном случае также распределена по нормальному закону.

Обозначим неизвестную величину MX через A и подберем по заданной надежности G число D > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P(|– A| < D) = G (1)

Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = MX = A И дисперсией D = DX /n = S 2/n, получаем:

P(|– A| < D) =P(A – d < < A + D) =

=

Осталось подобрать D таким, чтобы выполнялось равенство или .

Для любого G Î[0;1] можно по таблице найти такое число T, что
F( t )= G / 2. Это число T Иногда называют Квантилем.

Теперь из равенства

Определим значение D: .

Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:

.

Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью G доверительный интервал

Покрывает неизвестный параметр A = MX генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра MX с точностью D=S t / И надежностью g.

Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема N = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью G =0,99.

Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение T Из равенства F (T) = G / 2 = 0,495. По полученному значению
T = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) D: D = 2,5´2,58 / » 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).

< Предыдущая		Следующая >