58. Конформные автоморфизмы круга
Теорема: Любое конформное отображение 
единичного круга 
на себя есть ДЛО.
Доказательство: Пусть 
, тогда пусть 
есть отображение круга 
на себя такое, что 
. Рассмотрим композицию 
, которая является конформным отображением и 
. Заметим, что 
и 
и 
удовлетворяют условиям леммы Шварца. Пусть 
, в силу леммы Шварца: 
. Пусть 
, тогда по лемме Шварца для обратной функции: 
. Из этих неравенств получаем: 
И выполняются условия второго пункта леммы Шварца и по лемме Шварца 
. В итоге получаем, что 
является композицией ДЛО 
и ЛО 
. Теорема доказана.
Следствие: Пусть 
и - конформные отображения жордановой области 
на 
, тогда существует ДЛО 
, такое что 
.
Доказательство: 
и по теореме 
есть ДЛО, тогда 
и 
есть ДЛО. Следствие доказано.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
