04.02. Параметрические уравнения линии и поверхности

 

Параметрическими уравнениями линии в пространстве называются уравнения вида

(4.5)

Где— функции некоторой переменной(параметра), если

При каждом значенииИз конечного или бесконечного промежутка они дают координаты всех точек данной линии и только таких точек.

Параметрические уравнения часто применяются в механике для описания траектории движущейся точки, роль параметраВ таких случаях играет время. Параметрическими уравнениями поверхности называются уравнения вида

(4.6)

Где- функции двух переменных(параметров),

Если при любых значениях(меняющихся в некоторой области) они дают координаты всех точек данной поверхности и только таких точек.

Правые части уравнений (4.6) содержат два параметра, а уравнения (4.5)-только один параметр.

Пример 4.4. Составить параметрические уравнения винтовой линии.

Винтовой линией называется линия, описываемая точкой, равномерно движущейся по образующей кругового цилиндра, который при этом вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.

Выберем ось вращения цилиндра в качестве осиДекартовой прямоугольной системы координат в пространстве (рис. 4.1). Обозначим через v постоянную скорость прямолинейного движения точки вдоль образующей,- скорость вращательного движения,- радиус цилиндра. Пусть в начальный момент точка находилась га осн(совпадала с точкой), а в момент времени- в положении Обозначим буквойПроекцию точкиНа плоскость, буквой— проекцию точкиНа ось. буквой- проекцию точкиНа осьОбозначим через угол междуИ, получаем ПосколькуТо

(4.7)

Уравнения (4.7) являются параметрическими уравнениями винтовой линии.

Пример 4.5. Составить параметрические уравнения сферы радиуса R.

Введем в рассмотрение систему декартовых прямоугольных координат с началом в центре сферы и систему сферических координат с началом в той же точке (рис. 4.2). Пусть— произвольная точка сферы,- ее проекция на плоскость Обозначим угол, образуемый векторомС осью, через(широта); угол, образуемый векторомС осью, через(долгота). Принимая во внимание определение декартовых координат (или связь межау декартовыми и сфериче-

Скими координатами, см. 1.13, формулы (1.29)), получаем параметрические уравнения сферы

(4.8)

Где

Исключив из этих уравнений параметры(для чего нужно возвести в квадрат обе части каждого уравнения и почленно сложить), получим уравнение сферы (4.4).

< Предыдущая		Следующая >