02.10. Некоторые алгебраические линии высших порядков

Декартов лист - линия, определяемая в прямоугольной декартовой системе координат алгебраическим уравнением

В полярных координатах уравнение принимает вид

Декартов лист можно задать и параметрическими уравнениями

Линия эта изображена на рис. 2.18.

Циссоида. Рассмотрим окружность с диаметромИ касательную к ней

В точке(рис. 2.19). Из точкиПроведем луч, точку его пересечения с окружностью обозначим буквойНа этом луче отложим отрезок

Проведя другой луч и выполнив аналогичное построение, получим точку Таким способом можно построить сколько угодно точек. Множество точек Называют циссоидой. Построив достаточное число указанных точек и

Соединив их плавной линией, получим циссоиду (см. рис. 2.19).

Уравнение циссоиды в декартовых прямоугольных координатах имеет вид

В полярных координатах Параметрические уравнения циссоиды

Или

Где- полярный угол.

Строфоида. Рассмотрим точкуИ прямую, не проходящую через данную точку (рис. 2.20). Обозначим буквойТочку пересечения перпендикуляра к прямой, проведенной в точке, а длину отрезкаТ. е.Вокруг точки А вращается луч, на котором откладываются отрезкиИОт точки В пересечения с данной прямой так, чтоКаждому положению луча соответствует пара точек, построенных указанным способом. Множество пар точекНазывают строфоидой. ТочкиИПри этом “ называют сопряженными. Построив достаточное число точек и соединив их плавной линией, получим строфоиду (см. рис. 2.20). Название «строфоида» происходит от греческого слова спро<рг| - поворот.

Уравнение строфоиды в полярных координатах

В декартовых координатах

Параметрические уравнения строфоиды

Версьер». Рассмотрим окружность с диаметромИ отрезокПо

Строенный так, тго(рис. 2.21). Множество точек

Называют версьерой.

В прямоугольных декартовых координатах уравнение версьеры имеет вид

Параметрические уравнения версьеры

Где роль параметра играет первая координата

Рассматриваемую линию называют так же «локоном Аньези» в честь первой в Европе женщины, получившей известность благодаря заслугам на поприще математики.

Лемниската Бернулли — множество всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть посто

Янная величина, равная квадрату половины расстояния между данными точками.

В декартовых прямоугольных координатах лемниската Бернулли (рис. 2.22) имеет уравнение

В полярных

При другом выборе системы координат (рис. 2.23) эта линия определяется соответственно уравнениями

Название линии происходит от греческого слова- повязка, бант.

Линия названа по имени ученого, открывшего ее. Уравнение лемнискаты впервые

Встречается в статье Я. Бернулли, опубликованной в 1694 г. в журнале «Acta eru-ditonim» («Труды ученных»).

Овал Кассини — множество всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть постоянная величина.

Уравнение овала Кассини в декартовых координатах

В полярных

Ввд овала Кассини зависит от соотношения между постоянными. В случаеОвал имеет форму замкнутой линии, симметричной относительно осей координат (рис. 2.24). ПриПолучаем лемнискату Бернулли. В случае

Овал состоит из двух замкнутых линий.

Овалы Кассини названы в честь французского ученного, впервые рассмотревшего их. Жан Доминик Кассини (1625 — 1712) открыл эти линии при попытке определить орбиту земли.

Конхоида. В плоскости фиксируем прямую и точку, отстоящую от этой прямой на расстоянии(рис. 2.25, а). Проведем луч, пересекающий

ПрямуюВ точке. На луче от точкиПо обе стороны от нее, отложены два отрезкаИТаких, чтоГде- заданное число. Вращая

Луч вокруг точки(от 0 до 180° ) и проводя аналогичные построения (при одном и том же значении), получим линию, описываемую точкамиИ, которую называют конхоидой. ТочкуПри этом называют полюсом конхоиды, а прямую

- ее базисом. Линия эта состоит из двух ветвей: одну ветвь описывает точка Другую - точка

Уравнение конхоиды в полярных координатах

Знак плюс — для верхней ветви, минус — для нижней. Форма конхоиды зависит от соотношения между параметрамиПриЛиния имеет вид,

Изображенный на рис. 2.25, б, в.

В прямоугольных декартовых координатах конхоида имеет уравнение

Линию эту называют конхоидой Никомеда, по имени древнегреческого геометра, впервые открывшего ее.

Улитка Паскаля. Рассмотрим окружность радиусаС центром в точке (рис. 2.26). Выберем на данной окружности точку. Представим себе, что вокруг точкиВращается лучВ каждом его положении от точкиПересечения луча и окружности откладываем отрезок, где- заданное положительное

Число. При повороте луча от.Получим множество точек. При даль

Нейшем повороте луча от, откладывая отрезок длиныПо направле

Нию луча, мы фактически будем откладывать его в сторону, противоположную

Прежней, т. е., и получим точки. Множество точекНазы

Вают улиткой Паскаля.

Уравнения улитки Паскаля:

Форма улитки Паскаля зависит отсоотношения между параметрами (рис. 2.26),(рис. 2.27),(рис. 2.28).

Линия названа в честь Этьена Паскаля - французского математика-любителя, отца знаменитого Блеза Паскаля.

Кярдмодя - линия, описываемая точкойОкружности радиуса г, катящейся по окружности с таким же радиусом (рис. 2.29). Параметрические уравнения кар-диоды

В полярных координатах в декартовых координатах

УравнениеТакже определяет кардиоду в полярной системе коор

Динат с полюсом в той же точке и противоположно направленной полярной осью.

Китая - линия, представляющая собой множество точек касания касательных, проведенных из данной точки к окружности заданного радиуса, центр которой перемещается по фиксированной прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.30).

Линия эта напоминает треческую букву к (каппа), откуда и происходит ее название. Параметрические уравнения каппы

Роза - линия, заданная полярным уравнениемИли уравнением

Где- положительные числа. Роза целиком расположена в круге

РадиусаТак как. Роза состоит из конгруэнтных лепестков,

Симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен а. Количество этих лепестков зависит от числа. Если— целое число, то роза состоит изЛепестков при нечетномИ изЛепестков при четном(рис. 2.31, а, 6). Если- рациональное число, причемТо роза состоит из

Лепестков в случае, когда- нечетные числа, или изЛепестков, если одно из чисел будет четным. При этом в отличие от предыдущего случая каждый следующий лепесток будет частично покрывать предыдущий (рис. 2.31, в-е).

Если числоЯвляется иррациональным, то роза состоит из бесконечного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Четырехлепестковой розой (см. рис. 2.31, б) называют линию, определяемую полярным уравнением

В полярных координатах в декартовых координатах

В декартовых координатах линия имеет уравнение

Четырехлепестковая роза образуется множеством оснований перпендикуляров, опущенных из вершины О прямого угла на отрезок постоянной длины, концы которого скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О.

Трехлепесгковой розой (см. рис. 2.31. а) называют линию, определяемую уравнением

В декартовых координатах линия имеет уравнение

Астроида. Прямоугольник, две стороны которого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых,; деформируется так, что его Диагональ сохраняет постоянную длину р. Множество точек — оснований перпендикуляров, опущенных из вершины прямоугольника наело диагональ, называют астроидой (рис. 2.32, а).

.. 'Астроида 1ше^параметрические уравнения.. ..

Исключив из этих уравнений параметр t, получим уравнение астроиды в прямоугольных координатах:

Освобождаясь от дробных показателей, находим

Астроиду можно рассматривать как траекторию точки окружности - радиуса (рис. 2.32, б), катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиусКоторой в четыре раза больше

Гипоциклоида - плоская линия, описанная фиксированной точкой окружности радиуса, катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиусаВнутри ее (рис. 2.33, где— вычерчивающая точка,- ее исходное положение,- угол поворота окружности,- дуга линии).

Параметрические уравнения гипоциклоиды

ГдеФорма кривой зависит от зна

ЧенияЕсли- взаимно

Простые числа), тогдаПослеПолных оборотов окружности возвращается в исходное положение и гипоциклоида - замкнутая линия, состоящая изВетвей с точками возврата при(рис. 2.34);

ПриВместоТочек возврата линия

ИмеетДругих точек (рис. 2.35). При Линия вырождается в диаметр неподвижной окружности, приЯвляется астроидой (см. рис. 2.32). При иррациональном т число ветвей бесконечно, точкаВ исходное положение не возвращается. Обобщением гипоциклоиды является гипотрохоида.

Гипотрохоида - плоская линия - траектория точки, жестко связанной с окружностью радиусаКатящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиусаВнутри ее, причем вычерчивающая точкаНаходится на расстоянииОт центра окружности радиусаПриКривая называется удлиненной гипоциклоидой (рис. 2.36,), при- укороченной (рис. 2.37, ). Параметрические уравнения гипотрохоиды

ГдеПриЛиния является эллипсом, при- розой (см. рис. 2.31).

Рис. 2.36

Эпициклоида - плоская линия - траектория фиксированной точки окружности радиусаКатящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиусаВне ее (рис. 2.38, где- вычерчивающая точка,- ее исходное

Положение,- угол поворота окружности,-дуга кривой).

Параметрические уравнения эпициклоиды

Рис. 2.37

ГдеФорма кривой зависит от значения т

(рис. 2.39, а;Рис. 2.39, б;). Если

(- взаимно простые числа), точка

ПослеПолных оборотов окружности возвращается в исходное положение и эпициклоида - замкнутая линия, состоящая изВетвей сТочками возврата. ПриКривая является кардиодой (см. рис. 2.29). При иррациональномЧисло ветвей бесконечно, точкаВ исходное положение не возвращается. Обобщением эпициклоиды является эпитрохоида.

Эпитрохоида - плоская кривая - траектория точки, жестко связанной с производящей окружностью радиуса, катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиусаВне ее, причем вычерчивающая точкаНаходится на расстоянииОт центра производящей окружности. При,Линия называется удлиненной эпициклоидой (рис. 2.40, а;), при- укороченной эпициклоидой (рис. 2.40, б;). Параметрические уравнения эпитрохоиды