16. Ряды Фурье для функций любого периода

Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

Для нечетной функции:

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке

[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т. е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

< Предыдущая