05.5. Примеры математической обработки данных выборочного наблюдения

Приведенные в предыдущих параграфах сведения позволяюТ Решить ряд примеров, связанных с результатами выборочного Наблю дения.

Пример 2. Для определения средней урожайности пшеницы На Площади 10000 Га определена урожайность На 1000 Га. РезультаТы выборочного обследования представлены в виде Следующего Распределения:

Урожайность в Ц с Га	Количество Га
11 – 13 13 – 15 15 – 17 17 – 19	150 200 450 200
Итого	1000

Найти вероятность того, что средняя урожайность пшеницы нА Всем массиве отличается от средней выборочной не более чем на 0,1 Ц, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.

Решение. Вычислим среднюю арифметическую и дисперсиИ Данного в условии распределения (это будут выборочная Средняя И выборочная дисперсия).

За значение признака нужно принять середины интервалов В результате получим

.

Для нахождения вероятности искомого события применяем формулу

,

В которой . Найдем среднюю Квадратическую ошибку M.

Для повторной выборки по формуле (1), в которой , А П= 1000, получим

,

А в случае бесповторной выборки имеем по формуле (3)

.

Если выборка Повторная, то вычисление искомой Вероятности Дает

Если же выборка бесповторная, то искомая вероятность

Пример 3. Нз партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке (W=0,04) не более чем на 0,015, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.

Решение. В соответствии с формулой (2) при W=0,04, П = 1000 средняя Квадратическая ошибка повторной выборки

.

Если выборка бесповторная, то в соответствии с формУЛой (4) при значениях W=0,04, П = 1000 и N= 8000, средняя Квадратическая ошибка .

Отсюда искомая вероятность определяется так:

А) при повторной выборке

Б) при бесповторной выборке .

Пример 4. При условиях приведенного выше примера 2 найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена урожайность на всем массиве.

Решение. По таблице значений функции Ф(Х) находим, что Ф(3)=0.9973. Следовательно, при соотношении

, или

Можно, зная значения M и для повторной и для бесповторной выборки, найти D (предельную ошибку выборки):

А) если выборка повторная, то

;

Б) если выборка бесповторная, то

.

Таким образом, с вероятностью 0,9973 средняя урожайность (в Ц) НА всем массиве заключена в границах 15,4±0,18, т. Е. От 15,4-0,18 = 15,22 до 15,4+0,18=15,58, если выборка повторная, и в границах 15,4±0,17, т. е. от 15,4-0,17=15,23 до 15,4+0,17=15,57, если выборка бесповторная.

Пример 5. Из партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена доля нестандартных деталей во всей партии, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.

Решение. По таблице значений функции Ф(Х) находим, что . Следовательно, приходим к равенству , где M — средняя Квадратическая ошибка. В примере 3 (см. выше) мы вычислили, что она равна 0,0062, если выборка повторная, и 0,0059, если выборка бесповторная. Поэтому предельная ошибка выборки

, если выборка повторная;

, если выборка бесповторная,

Теперь можно найти искомые границы. Они буду таковы:

0,04±0,0124, т. е. от 0,0276 до 0,0524

(или от 2,76% до 5,24%), если выборка повторная, и

0,04±0,0118, т. е. от 0,0282 до 0,0518

(или от 2,82% до 5,18%), если выборка бесповторная.

Если требуется определить необходимый объем (П) Повторной Выборки, при котором с заданной надежностью (Р) отклонеНИе выборочной средней или доли от генеральной не превысило данной предельной ошибки (D), то значение П отыскивается из соотношения . Здесь T определяется по таблице из условия , a M — По одной из четырех формул. В частности, при определении среднеЙ признака искомый объем находится в виде , а при Определении доли признака — в виде или .

Пример 6. Из партии в 1000 единиц готовой продукции производится повторная выборка для определения доли брака. Найти тот объем этой выборки, при котором с вероятностью Р=0,99 гарантируется ошибка не свыше 0,1.

Решение. Здесь . Значению По таблице значений Ф(Х) соответствует . При заданном имеем . Значение П следует найти из соотношения . Но в условии нет значения доли брака. Поэтому следует использовать наибольшее значение Pq=0,25. Это приводИТ к соотношению , откуда .

Если надо установить объем выборочной совокупности при бесповторной выборке, то из формул (3) и (4)

и

Получаются следующие выражения для этого объема в бесповторной выборке:

(при определении средней признака)

И

(при определении доли признака).

Пример 7. Найти объем выборки из партии в 6000 прецизионных приборов, при котором можно с вероятностью Р=0,890 утверждать, что отклоненИе доли точных приборов в выборке от вероятности их изготовления р=0,4 не превысит 0,02: а) при повторной выборке и б) при бесповторной выборке.

РешенИЕ. Здесь дает по таблице значений Ф(Х) T=1,6. Предельная ошибка выборки по условию . Отсюда

А) при повторной выборке применяется формула , что дает:

Б) при Бесповторнои выборке применяем формулу , что дает:

< Предыдущая		Следующая >