11.2. Свойства дифференцируемых функций

Свойства дифференцируемых функций

Будет ли функция иметь предел в точке, в которой существует ее производная? Будет ли непрерывной дифференцируемая функция? Эти вопросы возникают сразу же, потому что и понятие производной, и понятие непрерывности имеют общую первооснову понятие предела.

ТЕОРЕМА 1. Если функция имеет производную на множестве X, то она непрерывна на этом множестве.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из условия теоремы следует, что отношение имеет конечный предел для любого X из множества X при , то есть:

По теореме, определяющей необходимое и достаточное условие существования предела, будем иметь:

Где бесконечно малая функция при , стремящемся к нулю.

Находим приращение функции:

Оно складывается из двух бесконечно малых функций при , поэтому их сумма бесконечно мала, что и доказывает непрерывность функции .

Дифференцируемая функция непрерывна, значит, она имеет и предел в соответствующих точках.

Рис. 11.2. Пример функции, недифференцируемой

В отдельной точке.


Если непрерывная функция не имеет производную в некоторой точке, то можно ли эту функцию переопределить в этой точке так, чтобы она стала дифференцируемой?

Непрерывность функции является, однако, лишь необходимым, но не достаточным условием ее дифференцируемости. Например, рассмотрим функцию (рис. 11.2). Она может быть представлена в виде

Дайте определение бесконечной производной.

Изобразите схематично графики непрерывных функций, имеющих бесконечную производную.

Если взять приращение аргумента в окрестности нуля

Может ли функция, у которой производная обращается в бесконечность, иметь в этой точке:

А) устранимый разрыв;

Б) разрыв первого рода;

В) разрыв второго рода?

То слева от этой точки

А справа

Если производная функции конечна для , то может ли сама функция быть бесконечно большой в этой точке?

При как слева, так и справа от точки 0, , то есть, непрерывна в нуле, однако

Это означает, что

Не существует, следовательно, при эта функция не является дифференцируемой.

Докажем теорему, позволяющую обосновать вычисление производных суммы, разности, произведения и частного двух функций.

ТЕОРЕМА 2. Если и дифференцируемы на множестве X, то производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных

(11. 1)

Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой из них на вторую функцию, и первой функции на производную второй функции.

(11. 2)

Производная частного равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной делимого на делитель и производной делителя на делимое, а знаменатель есть квадрат делителя.

(11. 3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Можно ли представить дифференцируемую функцию в виде суммы двух недифференцируемых?

Пусть аргумент x получает приращение . Тогда функции и будут иметь приращения и соответственно. Пользуясь определением производной, находим:

То есть

Это правило позволяет в случае необходимости выносить числовой множитель за знак производной, разбивать функцию на слагаемые, если производная каждого из них существует. В частности, при и имеем:

Так как предел последнего слагаемого равен нулю, потому что

.

Почему при и ?

ТЕОРЕМА 3. Если для функции существует обратная функция и в рассматриваемой точке Х производная , то обратная функция в соответствующей точке дифференцируема, причем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Придадим значению у приращение , тогда функция получит приращение , которое также отлично от нуля. Действительно, если бы , то , что невозможно. Следовательно, можно записать:

Пусть , тогда, в силу непрерывности обратной функции, и , поэтому

(11. 4)

Так как

ТЕОРЕМА 4. Если функция дифференцируема в точке T, а функция дифференцируема в точке X, то сложная функция дифференцируема в точке T, причем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Дадим аргументу t приращение . Тогда функция Получит приращение . Оно, в свою очередь, вызовет приращение функции , равное . Согласно определению, при будем иметь:

Доказать, что производная четной функции нечетна, а нечетной четна.

Возможность перехода от предела при к пределу при оправдана тем, что дифференцируема, а значит, непрерывна, поэтому бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции . Это и доказывает теорему.

Рассмотренные свойства дифференцируемых функций приблизили нас к возможности непосредственного вычисления производных.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!