10.3. Свойства непрерывных на отрезке функций

Свойства непрерывных на отрезке функций

Приведем без доказательства ряд теорем, относящихся к функциям, непрерывным на отрезке. Каждая из этих теорем имеет важное самостоятельное значение в математическом анализе. Несмотря на кажущуюся простоту и очевидность смысла данных теорем, доказать их оказалось делом нелегким. Это удалось осуществить сравнительно недавно – в XIX веке – выдающимся математикам: Вейерштрассу, Больцано, Коши. Современные ученые по достоинству оценили эти результаты и распространили их на наиболее сложные математические объекты исследования.

ТЕОРЕМА 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Рис. 10.4. Достижение непрерывной функцией своих наибольшего и наименьшего значений.

Геометрический смысл данной теоремы иллюстрируется на рис. 10.4.

Наибольшее значение функции достигается сразу в двух точках области определения функции: на конце отрезка в точке и в его внутренней точке C, которая является ее максимумом. Наименьшее значение достигается не в точке минимума, а на конце B этого отрезка. Этот пример показывает, что минимум и максимум функции не всегда являются ее наименьшим и наибольшим значениями.

Условия непрерывности функции и замкнутости промежутка, на котором она рассматривается, чрезвычайно важны. Невыполнение хотя бы одного из этих условий может нарушить справедливость теоремы. Например, функция на отрезке [-3,1] не является непрерывной, она имеет при бесконечный разрыв, поэтому указать для нее наибольшее и наименьшее значения невозможно. Более того, если непрерывную на отрезке функцию переопределить всего лишь в одной (!) точке, то есть допустить устранимый разрыв, то сформулированная теорема может оказаться неверной. Например, функция на достигает наименьшее значение, равное нулю, при и . Наибольшее значение, равное единице, достигается при . Однако стоит только переопределить эту функцию, положив, что

(рис. 10.5), как возможность достижения наибольшего значения новой функцией окажется неосуществима: как бы близко мы ни подошли к значению , функция будет принимать значения, сколь угодно близкие к единице, но не равные ей. Следует отметить, что если принять , то утверждения теоремы 1 будут выполнены; то есть теорема 1 дает лишь достаточное условие достижения наибольшего и наименьшего значений функции.

Рис. 10.5. Существование глобального экстремума при нарушении одного из условий теоремы 1.

Аналогично, если только допустить, что функция непрерывна не на отрезке , а, предположим, на полуинтервале, например, , то утверждение теоремы 1 может оказаться верным, а может и не быть таковым. Например, функция на Достигает наименьшего значения – нуля, в точке , а наибольшего – единицы, когда . Однако этой же функцией на наименьшее значение, равное нулю, при достигается, а наибольшее значение достигнуто быть не может.

ТЕОРЕМА 2. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то в интервале найдется хотя бы одна такая точка c, в которой функция обратится в нуль:

.

Сохранится ли утверждение теоремы, если функция имеет в некоторой точке отрезка устранимый разрыв?

Геометрический смысл теоремы иллюстрируется рисунком 10.6. Функция, график которой здесь приведен, обращается в нуль даже в трех точках.

Данная теорема имеет важное значение для обоснования методов отыскания приближенных решений уравнения:

Рис. 10.6. Функция, удовлетворяющая условиям теоремы 2.

.

Согласно ей, достаточно найти для непрерывной функции отрезки, на концах которых она имеет разные знаки, чтобы утверждать о существовании на них хотя бы одного действительного корня. Эта теорема могла бы иметь еще большее значение, если бы она указывала способ отыскания таких корней. В настоящее время математика богата самыми разнообразными методами приближенного решения уравнения . Все они основываются на теореме 2.

Она важна также для обоснования метода интервалов при решении неравенств

,

Где – непрерывная функция.

Пусть ... – Корни уравнения

.

Они разбивают область определения функции на отрезки так, что на их концах функция обращается в нуль. Внутри этих отрезков функция сохраняет знак, так как в противном случае существовали бы внутренние точки промежутков, в которых функция обратилась бы в нуль, что невозможно: ведь все корни уравнения мы уже выделили. Если функция имеет разрывы, то при решении неравенства их надо присоединить к корням уравнения. Взяв произвольную точку на каждом из полученных интервалов, мы определим на нем знак функции.

Рассмотрим пример:

.

Свяжем с данным неравенством функцию

.

Отметим на числовой оси нули, точки разрыва функции, а также интервалы знакопостоянства (рис. 10.7).

Рис. 10.7. Интервалы знакопостоянства данной функции.

Отсюда видно, что решением неравенства будет

.

ТЕОРЕМА 3. Если функция непрерывна на отрезке и M – ее наименьшее значение, а М – наибольшее, то для любого числа , лежавшего между m и М, найдется такое значение аргумента , что (рис. 10.8).

Рис. 10.8. Функция, удовлетворяющая условиям Теоремы 3.

Смысл данной теоремы состоит в том, что непрерывная на отрезке функция принимает все значения, заключенные между ее наименьшим и наибольшим значениями, а потому ее называют теоремой о промежуточных значениях непрерывных функций.

< Предыдущая		Следующая >