08.6. Бесконечно малые функции и их свойства

Бесконечно малые функции и их свойства

Весь мир есть не что иное, как бесконечное пространство, наполненное бесконечно малыми бес­цветными и беззвучно дви­жущимися частицами материи. Л. Н. Толстой

Бесконечно малые функции являются частным случаем функций, имеющих предел.

Функция называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ в окрестности некоторой предельной точки a, если ее предел при x, стремящемся к a, равен нулю.

Отсюда следует:

То есть для X ¹ A И достаточно близких к А значения функции по абсолютной величине становятся меньше любого положительного числа E.

В данном случае предельная точка конечна, однако она может быть и бесконечной. Говорить о бесконечно малой функции можно только в окрестности какой-либо точки. Одна и та же функция может быть бесконечно малой или же бесконечно большой, но в разных предельных точках.

Например, функция

Как легко показать, бесконечно мала при x, стремящемся к . Но она будет и бесконечно большой при x, стремящемся к 1, а при x, стремящемся, допустим, к –7, она может быть ни той, ни другой.

Изучим подробнее свойства бесконечно малых функций. Это позволит нам не только найти способ сравнения между собой таких функциональных зависимостей, но и обосновать правила вычисления пределов. Рассмотрим случай, когда предельная точка конечна. Но надо сказать, что приведенные ниже теоремы справедливы и при .

ТЕОРЕМА 1. Если в окрестности предельной точки a функция бесконечно мала, то функция является бесконечно большой в окрестности этой предельной точки.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

По условию теоремы,

Это означает, что в проколотой D–Окрестности предельной точки a справедливо неравенство

Так как E – любое положительное число, то положительное число N = 1 / E может быть сделано сколь угодно большим. Тогда

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2. Если в окрестности предельной точки a функция бесконечно большая, то функция является бесконечно малой в окрестности этой предельной точки.

Доказать самостоятельно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей.

ТЕОРЕМА 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций в окрестности предельной точки a есть функция бесконечно малая в этой же окрестности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Не умаляя общности рассуждений, ограничимся рассмотрением двух функций: f(x) и g(x), каждая из которых бесконечно мала при :

В наименьшей из двух окрестностей и предельной точки a, которую мы обозначим через D, будут справедливы оба неравенства

и

Поэтому в D–Окрестности предельной точки A будет иметь место соотношение

Так как E – любое положительное число, то и положительная величина также может быть сделана сколь угодно малой. Поэтому

,

Что и требовалось доказать.

Важным условием данной теоремы является конечность числа рассматриваемых бесконечно малых функций. Оказывается, что если число слагаемых в сумме бесконечно малых функций бесконечно велико, то их сумма вовсе может и не быть бесконечно малой величиной. Эта особенность явится в последующем предметом глубокого изучения при рассмотрении определенного интеграла.

ТЕОРЕМА 4. Если в окрестности предельной точки a функция бесконечно мала, а ограничена, то их произведение – бесконечно малая функция в окрестности этой предельной точки.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть Бесконечно мала, а Ограничена в окрестности предельной точки a. Тогда

“ ограничена”

.

Наименьшую из двух окрестностей и обозначим через D. Тогда в этой окрестности будет справедливо соотношение

Так как E – любое положительное число, то положительная величина тоже может быть любой

Что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Этот факт очевиден, так как функция, имеющая конечный предел, как доказано ранее, ограничена.

В математическом анализе не только выделяются бесконечно малые функции, но и сравниваются степени их малости. Это, в частности, позволяет заменять одни бесконечно малые функции другими, упрощая тем самым изучение функциональных зависимостей. Следует иметь в виду, что каждый раз при сравнении бесконечно малых речь идет только о некоторой окрестности предельной точки.

Будем называть функцию БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ, чем в окрестности предельной точки a, если

.

Принято обозначение:

Будем называть бесконечно малые функции и в окрестности предельной точки a БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ ОДИНАКОВОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ, если

Доказать, что если и – эквивалентные бесконечно малые функции при , то является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем И .

В частном случае, при , бесконечно малые функции, имеющие одинаковый порядок малости, называются ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ и обозначаются следующим образом:

Первый замечательный предел является подтверждением эквивалентности функций

Y = и Y = X при.

Укажем еще некоторые часто встречающиеся при решении задач эквивалентные функции (доказательство их эквивалентности может быть осуществлено различными методами математического анализа, которые в дальнейшем нам предстоит рассмотреть).

При

~~~

< Предыдущая		Следующая >