06.4. Построение математической теории

Построение математической теории

Первичные понятия и аксиомы формируют базу для построения математической теории. Она создается по двум направлениям, идущим параллельно: с одной стороны, по законам математической логики доказываются теоремы на основе принятой системы аксиом и ранее доказанных утверждений, с другой – на базе уже известных понятий вводятся новые. В дальнейшем, рассматривая основные идеи математического анализа, мы “Вырастим дерево” важнейших понятий этой науки.

Построить аксиомати-ческую теорию данной структуры – это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их природы). Н. Бурбаки

Новое понятие вводится через Определение, которое указывает на связь вводимого понятия с уже известными и раскрывает его содержание.

Как уже отмечалось в первой части пособия, само определение не является высказыванием и не может рассматриваться с точки зрения истинности или ложности, о нем нельзя сказать, что оно правильно или неправильно. Оно может быть оценено лишь эмоциональными характеристиками: удачно – неудачно, содержательно – бессодержательно, лаконично – громоздко и т. д. Вместе с тем, вводимые определения должны удовлетворять ряду требований, обеспечивающих их Корректность :

“Масло – масляное”, – так в народе называется этот дефект мысли.

1. Правомерность утверждения, присутствующая в определении, принимается по соглашению, поэтому в каждом определении явно или неявно присутствует эквивалентность между определяемым и определяющим понятиями. Определение может быть всегда сформулировано с использованием словосочетания “Тогда и только тогда”. Например, “Треугольник называется равносторонним тогда и только тогда, когда его стороны равны”.

2. Определяемое понятие не должно присутствовать скрыто в определяющем.

3. Определяемый объект должен существовать и быть, как правило, единственным.

“Это вам не фаршированная рыба”, - пытаются “доходчиво” объяснить одесситы.

4. Следует избегать построения определений через отрицание. Например: “Правая система координат – Это не левая система координат”. Таким способом еще не раскрывается суть вводимого понятия.

Математические понятия вводятся следующими способами:

1. Классическим – через род и видовое отличие. Например, “Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание (род), которое истинно тогда, когда одно из высказываний А или В истинно (видовое отличие)”. В этом определении указывается общая совокупность объектов – высказывания, из них выделяются по условиям истинности те, которые названы дизъюнкцией.

2. По соглашению, например: 0!=1.

3. По способу формирования, построения или конструирования. Например: “Биссектриса – это луч, делящий угол пополам”.

Всякая математическая теория представляет собой некоторую совокупность утверждений, описывающих исследуемую структуру, которая определенным образом упорядочена отношением логического следования. Часть из этих утверждений принимается за исходные – аксиомы, все остальные предложения логически следуют из них. Как правило, построение математической теории осуществляется в виде аксиоматической теории с использованием математических терминов и символов на естественном словесном языке. Доказательства проводятся с помощью логических средств путем рассуждений. Такие доказательства называются содержательными. Математическая теория может быть построена как формальная аксиоматическая теория. На базе некоторой фиксированной логической системы, например, логики предикатов, в ней могут производиться формальные доказательства (сама логика предикатов строится как формальная аксиоматическая система, то есть выделяются основные исходные аксиомы, а далее все остальные утверждения получаются из них с помощью некоторых исходных правил вывода). По известному содержательному доказательству можно составить формальное доказательство с использованием определенного набора правил, хотя это не всегда просто и, к тому же, сопряжено с проблемой достоверности доказательств.

Структура теорем и их виды рассматривались в первой части учебного пособия. Отметим дополнительно, что аксиомы не подлежат доказательству, так как они являются исходными предложениями, не выводимыми из самих себя. Теоремы не могут быть рассмотрены с точки зрения истинности или ложности: всякое утверждение, сформулированное на языке некоторой теории, может быть теоремой этой теории, выведенной из ее аксиом, или не быть таковой. В теореме должны быть указаны условия, при которых рассматривается тот или иной объект, и дана информация о том, что о нем утверждается.

Современная математика позволяет обнаружить глубокую внутреннюю взаимосвязь и взаимопроникновение различных ее теорий, находить новое за счет возможности интерпретации результатов, полученных в отдельных областях знаний. Так, норвежский математик С. Ли, исходя из общих проблем геометрии, разработал теорию непрерывных групп. Отыскивая все возможные виды симметрии кристаллов, известный кристаллограф и геометр Е. С. Федоров активно использовал полученные теоретико-групповые закономерности. Аксиоматика выделяет общие и отличительные стороны математических теорий, способствует появлению новых научных идей.

< Предыдущая		Следующая >