04.12. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Рассмотрим задачу о вычислении работы. Проблема может показаться простой, если материальная точка M перемещается по прямой, а действие силы совпадает с направлением движения (рис. 3.32, а).

Рис. 3.32. Физические схемы вычисления работы материальной точки.

Однако эта классическая задача физики интересна тем, что ее возможные усложнения служили толчком к развитию фундаментальных математических идей. Какие же трудности следует ожидать при ее решении? Во-первых, направления действия силы и перемещения L могут не совпадать (рис. 3.32, б); во-вторых, путь может и не быть прямолинейным (рис. 3.32, в); в-третьих, сила может быть переменной, изменяясь в зависимости от пути, времени, скорости точки и т. д., да и самих сил, приложенных к одной точке, может быть несколько (рис. 3.32, г); в-четвертых, далеко не всегда тело, представляющее собой систему, в которой преобразуются различные типы энергии, можно рассматривать как материальную точку (рис. 3.32, д). Эта задача проходит через всю историю математики, заставляя удивляться и физиков универсальности математических знаний. Идеи, используемые для вычисления работы, применимы при решении других, казалось бы, совсем не схожих проблем. Математика помогает естествознанию понять единство мира.

Рассмотрим случай, когда прямолинейное перемещение L не совпадает с направлением постоянной силы , действующей на материальную точку М (см. рис. 3.32, б). Тогда работа А вычисляется по известной формуле:

Где A – угол между направлениями перемещения и силы .

Математическая суть этой формулы в том, что двум векторным величинам и поставлена в соответствие скалярная величина А. Такая связь величин послужила основанием для введения математического действия умножения векторов, по которому результатом выполнения данной операции является скаляр. Введение такого действия тем более необходимо, что к подобным преобразованиям сводятся многие задачи физики и самой математики. Конечно, было бы желательно, чтобы вводимое действие обладало свойствами, аналогичными свойствам умножения скалярных величин, и соответствовало свойствам объектов реального мира.

Итак, дадим определение новому действию – скалярному произведению векторов.

СКАЛЯРНЫМ произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Справедливо ли утверждение ?

Скалярное произведение двух векторов и будем обозначать следующим образом: .

По определению, где J – угол между векторами.

Это определение можно переписать иначе:

.

Из определения следует, что скалярное произведение равно произведению модуля одного вектора и проекции на него другого вектора.

Скалярное произведение обратится в нуль, если векторы взаимно перпендикулярны или же какой-либо из них нулевой.

Рассмотрим алгебраические свойства скалярного произведения:

1.  – переместительный закон, справедливость которого следует из определения скалярного произведения и свойств действительных чисел.

2.  – распределительный закон.

Действительно,

Подтвердите эти свойства физическими примерами.

Здесь мы воспользовались свойством линейности проекций векторов на ось.

3.  – сочетательный закон относительно скалярного множителя.

Оно доказывается просто:

Вынося скалярный множитель за знак проекции, мы опять применяем свойство линейности.

Отметим, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

Получим теперь формулу скалярного произведения в координатной форме. Пусть даны векторы и , заданные своими координатами в прямоугольной системе координат. Тогда они представимы через координатные орты , , в виде:

Поэтому

Но

Отсюда следует:

(3.9)

И

(3.10)

Так как

(3.11)

То для нахождения угла между векторами справедливо соотношение:

(3.12)

Мы получили векторную и координатную формы записи результата, они включают в себя фактически две формулы, каждая из которых имеет самостоятельное значение. В дальнейшем мы будем стараться представлять рабочие формулы именно в таком виде.

Докажите, что

Для нахождения проекции одного вектора на другой, например, На воспользуемся равенством (3.13) Получим: (3.14)

 

< Предыдущая		Следующая >