04.10. Прямоугольная система координат

Прямоугольная система координат

Рассмотрим частный случай аффинной системы координат, у которой координатные оси взаимно перпендикулярны. Такая система координат называется прямоугольной. Базисные векторы в этом случае обозначаются через , и , считая первым,  – вторым,  – третьим вектором, и называются их ортами, а соответствующие им оси назовем 0x, 0y, 0z.

Напомним, что

.

Выделяют правую и левую системы координат. Система координат и сама координатная тройка называются ПРАВОЙ (ЛЕВОЙ) (рис. 3.29), если из конца вектора поворот от вектора к вектору на кратчайший угол виден как поворот, осуществляемый против часовой стрелки (по часовой стрелке).

А) б)

Рис. 3.29. Прямоугольная система координат:
а) правая, б) левая.

На практике чаще всего используется правая система координат. Применение левой системы координат обычно оговаривается.

Нами была уже доказана теорема о разложении вектора по трем некомпланарным направлениям. Оказывается, ее применение в прямоугольной системе координат позволяет связать координаты вектора с его проекциями на координатные оси.

ТЕОРЕМА 7. Координаты вектора (х, у, z) являются его проекциями на оси в прямоугольной системе координат.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дан произвольный вектор . Введем систему координат, связав начало отсчета с началом этого вектора, и построим параллелепипед, проводя через точку М – конец вектора–плоскости, параллельные координатным плоскостям (рис. 3.30). По теореме о разложении вектора по трем некомпланарным направлениям будем иметь:

.

Но векторы , и являются векторными проекциями и связаны с ортами соотношениями:

,

Где х, у и z – координаты вектора , а также точки М – конца этого вектора.

Рис. 3.30. Связь между координатами и проекциями
векторов.

Благодаря введению прямоугольной системы координат удается легко решать многие задачи. И от того, насколько удачно она введена, зависит успех их решения. При решении задач мы сумеем в этом неоднократно убедиться.

Воспользуемся методом координат для доказательства линейных свойств проекции вектора на ось. Пусть даны векторы , скаляры и ось L. Докажем, что

Действительно, введем систему координат так, чтобы ось L и ось Oх совпали. Пусть

Очевидно, что

Тогда

Коэффициент при орте есть координата по оси OX вектора . Но он же и является . Поэтому

Отметим, что если ось L не связывать с какой-либо из осей координат, то доказательство этого свойства усложнится. Оно также усложнится и при геометрическом подходе к доказательству.

< Предыдущая		Следующая >