03.02. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Положение прямой на плоскости может быть однозначно задано различными путями. Они определяют не только разнообразие подходов к изучению свойств прямых, но и позволяют оптимальным образом выбрать способ решения конкретных задач с учетом известных исходных данных и провести его исследование.

Известно, что уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом может быть задано в виде:

, (4.1)

Где k – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси Ох, а b – ордината точки пересечения прямой с осью y.

Рис. 4.2. Задание прямой уравнением с угловым
коэффициентом.

Всякая ли прямая на плоскости может быть представлена этим уравнением? Всегда ли удобно пользоваться им при решении разнообразных задач? Возможны ли другие формы представления прямой на плоскости? Эти и другие вопросы мы будем обсуждать, развивая возможности описания геометрического места точек, задающих прямую.

Значения параметров k и b позволяют однозначно судить о расположении прямой на плоскости. Очевидно, если , т. е. и (исходя из геометрического смысла задачи, нет

Необходимости рассматривать все множество значений , , при которых ), то прямая проходит параллельно оси Ох:

Есть уравнение такой прямой.

При прямая проходит через начало координат и имеет уравнение

.

Если в уравнении (4.1) коэффициенты k и b одновременно равны нулю, то оно принимает вид :

И задает ось 0х.

Уравнение вида (4.1), вместе с тем, не позволяет выделить путем подбора коэффициентов k и b какую-либо прямую, параллельную оси 0y, так как угол, образуемый с осью 0x, для любой такой прямой равен и не существует. Эту трудность в дальнейшем удастся преодолеть при рассмотрении других уравнений прямой.

Рассмотрим некоторые задачи, которые решаются достаточно просто при использовании уравнения (4.1).

Рис. 4.3. Нахождение угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами.

Найдем угол между двумя прямыми (рис. 4.3), заданными уравнениями:

(4.2)

(4.3)

Коэффициенты k1 и k2 позволяют найти углы и , которые образуют эти прямые с осью Ох.

Тогда – один из возможных углов между прямыми, находим из (рис. 4.3):

Таким образом,

(4.4)

Из формулы (4.4) следует, что, если

(4.5)

То – значит, данные прямые параллельны или же совпадают.

Формулу для вычисления угла между прямыми можно представить и в другом виде. Так как

То

(4.6)

Отсюда

(4.7)

Если в этой формуле поменять ролями коэффициенты k1 и k2 (что приведет к смене знака аргумента арктангенса), то мы определим другой угол , смежный по отношению к углу .

Полученная формула при

Дает уже известное условие параллельности прямых, так как при этом

Если же

, (4.8)

То прямые перпендикулярны (теперь ).

< Предыдущая		Следующая >