4.4. Оценка с помощью интервалов

Оценка параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых Доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров. Интервальная оценка определяется двумя числами - концами интервала.

Пусть найденная по данным выборки величина Q* служит оценкой неизвестного параметра Q. Оценка Q* определяется тем точнее, чем меньше
|Q - Q*|, т. е. чем меньше d в неравенстве |Q - Q*|< d, d > 0.

Доверительной вероятностью (Надежностью) оценки Q* параметра Q называется вероятность ¡, с которой оценивается неравенство |Q - Q*|< D.

Число A=1 - ¡ называется Уровнем значимости, определяющим вероятность того, что оцениваемый параметр не попадет в доверительный интервал.

Обычно задается надежность ¡ и определяется D. Чаще всего вероятность ¡ задается значениями от 0.95 и выше. Неравенство |Q - Q*|< D Можно записать в виде

- D < Q - Q* < D или Q* - D < Q < Q* + D.

Доверительным интервалом называется интервал (Q* - D, Q* + D), который покрывает неизвестный параметр Q с заданной надежностью.

Определение доверительного интервала для среднего значения нормально распределенной измеряемой случайной величины Х При известной дисперсии .

Нам уже известно, что . Можно показать [1-5], что (сумма нормально распределенных случайных величин сама является нормальной).

Зададим доверительную вероятность ¡ и найдем доверительный интервал ( - D, + D), который покрывал бы неизвестный параметр с заданной надежностью ¡.

Согласно формуле В (Свойства нормального распределения, раздел 3)

. (4.1)

Таким образом, для отыскания величины Доверительной границы случайного отклонения результатов наблюдений по Доверительной вероятности ¡ имеем уравнение:

, где ,

Где значение находим по таблице Лапласа (приложение 1), .

Пример 4.7. По результатам наблюдений была найдена оценка неизвестного математического ожидания M случайной величины если точечная оценка =10.2, а дисперсия оценки =4. Требуется оценить доверительный интервал для оценки математического ожидания по 36-ти наблюдениям с заданной надежностью ¡=0.99.

Решение. Из (4.1) следует, что . Отсюда получаем, что =2.58 и половина искомого интервала . Так как , то с вероятностью 0.99 доверительный интервал для оценки математического ожидания: .

Со случаем, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна, можно ознакомится в [3, 4, 6].

< Предыдущая		Следующая >