34.05. П5. Задания по теме Элементы теории вероятностей&quot

1. Задачи на случайные события

1.1. Два нумизмата обмениваются коллекционными монетами. Найти число способов обмена, если первый нумизмат обмени­вает 5 монет, а второй — 8 монет.

1.2. В ящике находится 12 деталей, среди которых имеются 3 нестандартные. Найти вероятность того, что 3 взятые наугад детали будут стандартными.

1.3. В урне находится 20 шаров: 15 белых и 5 красных. Из урны извлекают один шар, затем, не возвращая его обратно, извлекают второй. Найти вероятность появления красного ша­ра при втором извлечении.

1.4. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера. Найти вероятность того, что при наборе номера наугад он на­берет его правильно не более чем с четырех попыток.

1.5. В лотерее разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных вы­игрышей на каждые 5000 билетов. Найти вероятность выиг­рыша вообще.

1.6. В ящике находится 12 деталей, из которых 3 нестандарт­ные. Из ящика последовательно, одну за другой, берут две де­тали. Найти вероятность того, что обе детали будут стандарт­ными.

1.7. В цеху находятся четыре однотипных станка. Вероятнос­ти исправного состояния этих станков соответственно равны 0,7, 0,9, 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что все станки на­ходятся в эксплуатации.

1.8. На станции «Скорой помощи» дежурят две машины. Веро­ятности технической исправности машин равны соответствен­но 0,95 и 0,75. Найти вероятность исполнения поступившего вызова второй машиной.

1.9. Инвестиционный фонд вкладывает поровну средства в пять предприятий при условии возврата ему каждым пред­приятием через определенный срок 125% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий равна 0,3. Найти вероятность того, что по истечении срока кредита фонд получит обратно не менее вложенной суммы.

1.10. Таможенный досмотр автомашин осуществляют два ин­спектора. В среднем из каждых 100 машин 45 проходит через первого инспектора. Вероятность того, что при досмотре ма­шина, соответствующая таможенным правилам, не будет за­держана, составляет 0,95 у первого инспектора и 0,85 у второ­го. Машина, соответствующая таможенным правилам, не была задержана. Найти вероятность того, что она прошла досмотр у первого инспектора.

1.11. В первой коробке находится 10 шаров, из которых 4 си­них; во второй коробке — 5 шаров, из которых 3 синих. Из первой коробки наугад перекладывают один шар во вторую коробку. Найти вероятность извлечения из второй коробки си­него шара.

1.12. Три орудия произвели залп по цели, и два снаряда пора­зили ее. Найти вероятность поражения цели при залпе вторым орудием, если вероятности поражения цели орудиями равны соответственно 0,5, 0,6 и 0,7.

1.13. Найти вероятность поражения цели при залповой стрель­бе отделением из 5 солдат, если вероятность попадания в цель каждым солдатом составляет 0,5.

1.14. Из урны, содержащей белые и черные шары, извлекают по одному шару 4 раза. Найти вероятность появления белого шара: а) менее трех раз; б) не менее трех раз.

1.15. Вероятность выпуска стандартного изделия равна 0,9. Найти вероятность того, что среди 100 приобретенных изделий будет ровно 80 стандартных.

1.16. Вероятность обращения в банк клиента за возвратом де­позита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребуют возврата депозита.

1.17. Вероятность появления брака в каждом из 2500 изделий равна 0,2. Найти вероятность появления стандартных изделий в количестве: А) не менее 1250; Б) не менее 1200 и не более 1250; В) не более 1249. Выпуск каждого изделия полагать не­зависимым событием.

1.18. Вероятность обращения в травматологический пункт для каждого рабочего на стройке составляет 0,3. Найти, среди какого количества строителей следует ожидать обращения в пункт не менее 50 человек.

1.19. Банк выдал кредиты размером 400 тыс. р. каждому из 2000 клиентов на год под 15% годовых. Вероятность невозвра­та кредита каждым из клиентов составляет 0,05. Какой доход гарантирован банку с вероятностью: а) 0,7; б) 0,95 ?

1.20. Вероятность появления события в каждом из 1200 неза­висимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 2% по абсолютной величине.

2. Задачи на случайные величины

2.1. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа стан­дартных деталей среди отобранных.

2.2. Тираж календаря 50 тыс. экземпляров. Вероятность брака в одном календаре равна 0,0003. Найти вероятность содержа­ния в тираже ровно 10 бракованных календарей.

2.3. Случайная составляющая дохода равна 2,5Х, а случайная составляющая затрат равна 40Y. Найти дисперсию прибыли при следующих условиях: случайная величина Х распределе­на по биномиальному закону с параметрами П = 100, Р = 0,6; случайная величина Y распределена по закону Пуассона с па­раметром λ = 3; случайные величины Х и Y являются незави­симыми.

2.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:

2.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — Числа отказов реле в 10 независимых опытах, если вероятность отказа реле в каждом опыте равна 0,1.

2.6. Дискретная случайная величина Х задана законом рас­пределения:

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и чет­вертого порядков.

2.7. Найти ковариацию и коэффициент корреляции Х и Y для двумерной случайной величины, распределение которой следу­ющее:

2.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(X) = (arcctg X)/π. Найти веро­ятность того, что величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).

2.9. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что Х примет значение: а) менее 1; Б) менее четырех; в) не менее четырех; Г) не менее семи.

2.10. Дискретная случайная величина дана законом рапределения:

Найти функцию распределения и построить ее график.

2.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(X).

2.12. Случайная величина Х задана на положительной полу­оси Ох функцией распределения F(X) = 1 - е-3X. Найти мате­матическое ожидание величины X.

2.13. Случайная величина Х задана на интервале (0, 2) плот­ностью распределения F(X) = X/8; вне этого интервала F(X) = 0. Найти функцию распределения и дисперсию величины X.

2.14. Случайная величина Х задана плотностью распределе­ния F(X) = 2E-2X на интервале (0, ). Найти функцию распре­деления, математическое ожидание и дисперсию.

2.15. Случайная величина задана функцией распределения

Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интер­вале (5, 10).

2.17. Сторона квадрата измерена приближенно в интервале (А, B). Найти математическое ожидание и дисперсию площа­ди квадрата, если его сторону рассматривать как случайную величину с равномерным распределением на этом интервале.

2.18. Размер женской обуви является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожида­нием 37 и дисперсией 4. Какой процент от общего объема за­купок следует предусмотреть магазину для обуви 38 размера, если этот размер находится в интервале (37,5, 38,5)?

2.19. Найти формулу плотности вероятности нормально рас­пределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 5, а дисперсия равна 36.

2.20. Случайная величина Х распределена нормально с мате­матическим ожиданием А = 10. Вероятность попадания Х в интервал (5, 10) равна 0,2. Найти дисперсию.

< Предыдущая		Следующая >