19.2. Решение систем M линейных неравенств с двумя переменными

Дана система Т линейных неравенств с двумя переменными

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую

Которая является Граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплос­кость 2 не содержит начала координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произволь­ную точку на плоскости (лучше начало координат) и подста­вить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.

Направление полуплоскости на рисунках показываем стрел­кой.

Определение 15. Решением каждого неравенства систе­мы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из ко­торых определяется соответствующим неравенством системы, называется Областью решения системы (ОР).

Определение 17. Область решения системы, удовлетворяю­щая условиям неотрицательности (Xj ≥ 0, J = ), называ­ется Областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной облас­тью или одной точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пус­тое множество.

Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и опреде­лить координаты угловых точек ОДР

Решение. Найдем ОР первого неравенства: Х1 + 3X2 ≥ 3. Построим граничную прямую Х1 +3X2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Под­ставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решени­ем неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).

Аналогично найдем решения остальных неравенств систе­мы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых

Решая систему, получим А(3/7, 6/7).

Точку В найдем как точку пересечения прямых

Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем коорди­наты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Построим прямые и определим решения не­равенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).

Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

< Предыдущая		Следующая >