19.1. Элементы аналитической геометрии в n-мерном пространстве. Основные понятия и определения

Дано N-мерное пространство, точки которого имеют коор­динаты (X1, X2, . . . ,xп).

Определение 1. Множество точек N-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению

Где хотя бы одно из чисел А1, A2, ..., An отлично от нуля, на­зывается Гиперплоскостью п-мерного пространства.

В векторной форме оно записывается следующим образом:

Где = (A1, a2,..., an), = (X1, X2,..., Xn).

Даны две гиперплоскости

Определение 2. Множество точек N-мерного пространства, координаты которых одновременно удовлетворяют каждому уравнению системы, называется Пересечением гиперплоскос­тей.

Дано неравенство

Эта зависимость определяет полуплоскость двухмерного про­странства, лежащую по одну сторону от прямой

Которая называется граничной прямой.

Определение 3. Множество точек N-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству

Называется полупространством N-мерного пространства, рас­положенным по одну сторону от гиперплоскости

Определение 4. Множество точек N-мерного пространства, содержащее вместе с любыми двумя точками A и В и все точ­ки отрезка АВ, называется Выпуклым телом (областью, фи­гурой).

Примеры плоских выпуклых фигур приведены на рис. 19.1.

Примеры невыпуклых фигур приведены на рис. 19.2.

Дадим некоторые определения выпуклой области.

Определение 5. Точка А называется Внутренней точкой вы­пуклой области, если в сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся только точки этой области.

Определение 6. Точка В называется Граничной точкой вы­пуклой области, если в сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся как точки данной области, так и не принад­лежащие ей (рис. 19.3).

Определение 7. Точка С называется Угловой точкой вы­пуклой области, если она является граничной и не лежит внутри отрезка, соединяющего две другие точки этой облас­ти (рис. 19.3).

Определение 8. Если область включает все свои граничные точки, то она называется Замкнутой.

Выпуклая область может быть ограниченной и неограни­ченной.

Определение 9. Ограниченной называется область, если су­ществует такое число М > 0, что радиус-вектор , соединяю­щий начало координат с любой точкой области, по абсолютной величине меньше М, т. е. || ≤ М.

Для этой области все ее точки находятся на конечном рас­стоянии от начала координат.

Определение 10. Если найдутся точки области, сколь угод­но удаленные от начала координат, то область называется Не­ограниченной.

Определение 11. Выпуклая замкнутая ограниченная область, имеющая конечное число угловых точек, называется вы­пуклым П-мерным многогранником.

Определение 12. Выпуклая замкнутая неограниченная об­ласть, имеющая конечное число угловых точек, называется вы­пуклой П-мерной многогранной областью.

Определение 13. Линейная комбинация S векторов

В которой коэффициенты Ti удовлетворяют условиям

Называется выпуклой линейной комбинацией.

Определение 14. Пересечением выпуклых областей называ­ется множество точек, являющееся общей частью этих облас­тей.

ТЕОРЕМА 1. Пересечение выпуклых областей есть выпуклая область.

ТЕОРЕМА 2. Множество точек выпуклого п-мерного много­гранника совпадает с множеством любых выпуклых линейных комбинаций его угловых точек.

< Предыдущая		Следующая >