17.4. Обобщения теорем сложения и умножения. Появление только одного из независимых событий

Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло­жения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления соответственно P1 и Р2. Найдем вероятность появления только одного из этих событий. Для этого введем новые события: В1 и B2. Событие В1 состоит в том, что событие А1 наступило, а событие А2 не наступило; иными словами, В1 = A12. Аналогичным образом определя­ется и событие B2 = 1A2 (совместное ненаступление события A1 и наступление события А2). Поскольку события А1 и A2 независимы, то независимы также и противоположные coбытия 1 и 2; тогда события В1 и В2 являются несовместными. Вероятность наступления только одного из событий А1 и А2 находится как сумма вероятностей несовместных событий В1 и B2:

Где q1 = 1 – P1 , Q2 = 1 - Р2.

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости формулы вероятности наступления только одного из трех не­зависимых событий A1, А2, А3 с вероятностями наступления соответственно Р1, р2 и р3:

Где Bi — произведения наступившего события АI и двух дру­гих ненаступивших событий (I = 1, 2, 3). Для случая П неза­висимых событий формула вероятности наступления только одного из них имеет аналогичный вид — сумма П слагаемых, каждый член которой представляет собой произведение вероятности наступления одного из событий на вероятности (N - 1) других противоположных событий.

Пример 1. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из кон­трактов не "лопнет", равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов предприниматель по меньшей мере ничего не потеряет?

Решение. Предприниматель по крайней мере ничего не по­теряет, если либо не "лопнет" один из контрактов (другой воз­местит ему потери), либо будут выполнены оба контракта. Пусть события А1 и А2 — это выполнение соответствующих контрактов (вероятность Р = 0,8); эти события являются независимыми. Противоположные им события 1 и 2 — не­выполнение контрактов (вероятность Q = 0,2). Тогда собы­тия В1 = А12, В2 = 1A2 и A1A2 являются несовместны­ми (последнее событие — это выполнение обоих контрактов). Искомая вероятность определяется с учетом формул (17.10) и (17.7):

< Предыдущая		Следующая >