15.5.4. Характеристическое уравнение

В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть — собственный вектор квадратной матрицы А порядка N. Тогда имеет место матричное уравнение

Или

Где λ — собственное значение матрицы А, а E и — соответ­ственно единичная матрица и нулевой вектор-столбец. Урав­нение (15.17) эквивалентно системе однородных уравнений

В уравнениях (15.18) Aij — элементы матрицы А, Xj — коорди­наты собственного вектора Х. Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система (15.18) должна иметь ненулевое решение, т. е. в силу следствия 2 (см. выше) определитель этой системы равен нулю:

Определитель системы однородных уравнений (15.18) называ­ется Характеристическим многочленом, а уравнение (15.19) — Характеристическим уравнением матрицы А.

Уравнение (15.19) имеет степень N относительно неизвест­ной λ. Его корни являются собственными числами матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однород­ной системы (15.18).

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Характеристическое уравнение для этой матри­цы имеет вид

Откуда, раскрывая определитель, получаем

Корни этого уравнения суть λ1 = 2, λ2 = 5. Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные зна­чения в систему однородных уравнений (15.18) при N = 2 с со­ответствующими элементами заданной матрицы А. Собствен­ный вектор, соответствующий собственному значению λ1 = 2, является решением системы

Пo сути дела, это одно уравнение, поскольку определитель сис­темы равен нулю. Полагая X2 = B свободной переменной, по­лучаем первый собственный вектор 1 = (—2B, b) = B (-2, 1). Подстановка второго собственного значения λ2 = 5 приводит к системе уравнений

Которая через свободную переменную X2 = С определяет второй собственный вектор матрицы А: 2 = (С, С) = С (1, 1).

Поскольку B И С — произвольные числа, то одному соб­ственному значению может соответствовать несколько собст­венных векторов разной длины. Например, собственные векто­ры, соответствующие фундаментальным решениям однород­ных систем (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид 1 = (-2, 1), 2 = (1, 1).

< Предыдущая		Следующая >