06.4.3. Интегрирование по частям

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и диффе­ренцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет пер­вообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем спра­ведлива формула

С учетом вида дифференциалов функций v'(x)dx = dv и u'(x)dx = du равенство (6.2) часто используют в форме

Равенство (6.2) (или (6.3)) называется формулой интегри­рования по частям.

В интегрировании по частям самым сложным является выбop в подынтегральном выражении сомножителя V'(X) Dx = Dv. Под знак дифференциала D можно в принципе внести все что угодно; однако выбор должен быть таким, чтобы интеграл в правой части (6.2) был проще исходного, а не сложнее. В этом смысле метод интегрирования по частям позволяет свести ин­теграл Dv к интегралу Du, вычислить который существенно проще. Рассмотрим примеры нахождения интегралов ме­тодом интегрирования по частям.

Пример 8. DX.

Решение. Здесь берем И(х) = ln X, Dv = Dx, т. е. V = Х. По формуле (6.2) получаем

В общем случае интегралы вида Ln Х dx, где П ≠ 1 — целое число, берутся только интегрированием по частям: И = ln X, Xndx = dv, т. е. V = хn+1 /(П + 1). Аналогичным образом берутся и интегралы вида Arctg X Dx.

Пример 9. Dx.

Решение. В этом случае И = Х, EХDx = dv = d(ex), тогда по формуле (6.2) имеем

Интегралы вида Dx, где П > 0 — целое число и K ≠ 0 — любое число, берутся N-кратным интегрированием по частям до исчезновения степени Х в подынтегральной функции; при этом каждый раз под знак D вносится Еkx, т. е. Ekxdx = Dv = D(еkX).

Ррешение. Интегралы вида Cos kx dx и Sin Kx Dx, где K — любое число и П > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак D каждый раз вносится тригонометрическая функ­ция, и процедура интегрирования по частям повторяется N раз:

Cos Kx Dx = Dv = D (sin Kx), затем sin Kx Dx = -D(cos Kx) и т. д.

В данном случае мы имеем

Введем понятие Рациональной функции от двух перемен­ных. Это функция, полученная из переменных И и V путем про­ведения над ними арифметических операций. Например, функ­ция

Является рациональной от переменных U и V. В свою очередь переменные И и V также могут являться функциями. Например,

< Предыдущая		Следующая >