04.6. Понятие производной N-го порядка

Производная F'(X) функции F(X) сама является функцией аргумента Х, и по отношению к ней также можно ставить во­прос о производной. Производная от первой производной некоторой функции У = F(X) называется Второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производ­ная от второй производной называется Третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно про­должить. Производные начиная со второй называются Произ­водными высших порядков. Для их обозначения используют символы: У", у'", у(4), у(5), ..., у(N) (для второй и третьей производных соответственно еще и У(2) и У(3)) или вместо У пишут F(X): F"(X), F"(х), ..., F(N)(X).

Производная N-Го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (N — 1)-го порядка: Y(N) = (Y(N-1))'

Рассмотрим несколько примеров на вычисление производ­ных высших порядков.

Пример 1. Найти производную второго порядка от функции У = х3 + 2Х.

Решение. Последовательно находим первую производную, а затем и производную от нее:

Пример 2. Найти производную второго порядка от функции .

Решение. Сначала находим первую производную сложной функции:

Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение функций:

Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции У = Х In Х.

Решение. Последовательно находим

Пример 4. Найти производную N-го порядка от функции Y = e2x.

Решение: Находим

Т. е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функ­ции сомножитель 2. Отсюда получаем

В заключение укажем формулы для вычисления производ­ных N-го порядка для функций sin Х и cos Х. Нетрудно убедить­ся, что

< Предыдущая		Следующая >