Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Красс М.С., Чупрынов Б.П. 03.7.2. Непрерывность функции на интервале и отрезке. Классификация точек разрыва функции

03.7.2. Непрерывность функции на интервале и отрезке. Классификация точек разрыва функции

PDF Печать E-mail

Говорят, что функция F(X) непрерывна на интервале (А, B), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функ­ция F(X) непрерывна на отрезке [А, B], если она непрерывна на интервале (А, B) и непрерывна в точке A справа, а в точке B Слева:

Точки разрыва, в которых функция не является непрерыв­ной, классифицируются следующим образом.

1. Устранимый разрыв. Точка А называется точкой Устранимого разрыва функции F(X), если предел функции в этой точке существует, но в точке А функция F(X) либо не опре­делена, либо ее значение F(А) не равно пределу в этой точке.

Пример 1. Функция F(X) = в точке Х = 0, как известно, имеет предел, равный единице (первый замечательный пре­дел). Однако в самой точке Х = 0 эта функция не определе­на, т. е. здесь разрыв первого вида. Этот разрыв можно устра­нить (потому он и называется устранимым), если доопреде­лить функцию в этой точке значением предела в ней, т. е. ввес­ти новую функцию

Функция F1(X) является непрерывной на всей числовой прямой.

2. Разрыв первого рода. Точка А называется точкой раз­рыва Первого рода функции F(X), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пре­делы:

.

Пример 2. Рассмотрим функцию

Для нее точка Х = 0 является точкой разрыва 1-го рода.

3. Разрыв второго рода. Точка А называется точкой раз­рыва Второго рода функции F(X), если в этой точке функция F(X) не имеет по крайней мере одного из односторонних преде­лов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример 3. Для функции f(x) = 1/x точка х = 0 является точ­кой разрыва 2-го рода, поскольку .

Пример 4. Для функции F(X) = sin (l/X) точка Х = 0 явля­ется точкой разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Пример 5. Рассмотрим функцию F(X) = Е1/X = ехр (рис. 3.8). Точка Х = 0 является точкой разрыва 2-го рода для этой функции, так как предел слева равен нулю, а предел справа бесконечен:

Рис. 3.8

 
Яндекс.Метрика
Наверх