03.2.1. Предел функции. Предел функции в точке

Пусть функция F(X) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек

Сходящуюся к точке А, причем А Х или A X. Соответ­ствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

И правомерно рассмотреть вопрос о ее сходимости.

Определение. Число А называется Пределом функции F(X) в точке А (или пределом функции при Х А), если для любой cходящейся к А последовательности (3.5) значений аргумента Х, отличных от А, соответствующая последовательность зна­чений функции (3.6) сходится к числу А.

Для обозначения предельного значения функции использу­ется следующая символика: F(X) А. Заметим, что функция F(X) может иметь в точке А только одно предельное зна­чение, поскольку последовательность F(Xn) имеет только один предел.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Функция F(X) = С = const имеет предел в каж­дой точке числовой прямой. Действительно, любой последо­вательности (3.5), сходящейся к точке А, соответствует после­довательность (3.6), состоящая из одного и того же числа C, откуда следует, что F(Xn) С при N .

Пример 2. Функция F(X) = Х в любой точке А числовой пря­мой имеет предел, равный А. Действительно, последователь­ности значений аргумента (3.5) и значений функции (3.6) в этом случае тождественны, и если последовательность {Xn} сходится к А, то и последовательность {F(Xn)} также сходится к А.

Пример 3. Функция F(X) = имеет в точке X = 0 предел, равный -2. Действительно, пусть {Xn} — любая по­следовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т. е. lim Xп = 0 при N , тогда в силу свойств последовательнос­тей 1—9 имеем

< Предыдущая		Следующая >